Sejam os pontos A (2, -4, 3) e B (1, -2, 4). Determinar:

Para a equação da reta é necessário um vetor diretor e um ponto conhecido.

Através dos dois pontos conhecidos é possivel obter um vetor diretor.

vetor AB = B-A = (1,-2,4)-(2,-4,3) = (-1, 2, 1)  obs.: (vc escolhe o vetor, AB ou BA)

equação da reta r

(x,y,z)= (2,-4,3) + t(-1,2,1) ===> x, y e z são pontos sobre a reta

equação parametrica da reta

x=2 - t 

y=-4 + 2t  

z= 3 + t      } t é um parâmetro, sendo assim, isolando t no sistema obtemos... 

t = 2-x = (y+4)/2 = z-3

substituindo o ponto C pedido, pro ponto pertencer à reta r  a igualdade deve ser respeitada. Caso contrário C não pertence à reta. logo:

t = 2-3 = (4+4)/2 =72 -3 

t = -1 ≠ 4 ≠ 69 

provamos que C não pertence à reta r

Obrigado pela ajuda..

a)

Vamos determinar o vetor \(AB\)

\(AB=B-A\\ B-A=(1,-2,4)-(2,-4,3)\\ B-A=(-1,2,1)\)

Logo:

\((2,-4,3)+t(-1,2,1)\)

Assim:

\(\boxed{x=2-t\\ y=-4+2t\\ z=3+t}\)

b)

Para \(x=3\)

\(x=2-t\\ 3=2-t\\ t=-1\)

Para \(y=4\)

\(y=-4+2t\\ 4=-4+2t\\ t=4\)

Já vemos que o ponto não pertence à reta, isso porque o \(t\) deveria ser igual para todas as coordenadas.