Calcule usando integral m´ultipla o volume da bola do R 3 centrada na origem de raio 2.

A bola na origem com raio 2 tem a seguinte equação

\(x^2+y^2+z^2=4\)

Utilizando integral tripla, o volume é dado por:

\(\int \int \int dzdydx\)

Vamos trabalhar com coordenada esféricas para facilitar nossos cálculos.

Seja:

\(x=rcos\theta\\ y=rsen\theta\\ z=\rho cos\theta\\\)

Mas \(r=\rho sen\phi\)

Assim:

\(x=\rho sen\phi cos\theta\\ y=\rho sen\phi sen\theta\\ z=\rho cos\theta\\\)

Assim, o jacobiano para essa mudança é:

\(|Jac|=\rho^2sen\phi\)

A integral fica:

\(\int \int \int |Jac|d\rho d\phi d\theta=\int \int \int \rho^2sen\phi d\rho d\phi d\theta\)

Os limites são:

\(0\leq \rho \leq2\\ 0\leq \phi \leq\pi\\ 0\leq \theta \leq\ 2\pi\\\)

Assim:

\(\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^2\rho^2sen\phi\: d\rho\: d\phi \:d\theta\)

Resolvendo em relação a \(\rho\):

\(\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi}[ sen\phi \frac{\rho^3}{3}]_0^2\: \: d\phi \:d\theta=\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi}[ sen\phi (\frac{2^3}{3}- \frac{0^3}{3})]\: \: d\phi \:d\theta\\ =\frac{8}3\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi}sen\phi\: \: d\phi \:d\theta\)

Resolvendo em relação a \(\phi\):

\(\frac{8}3\int_0^{2\pi}[ -cos \phi]_0^{\pi} \:d\theta=\frac{8}3\int_0^{2\pi}[ -cos \pi+-cos \ 0]_0^{\pi} \:d\theta\\ =\frac{8}3.2\int_0^{2\pi}d\theta\\\)

Resolvendo essa última integral:

\(\frac{8}3.2\int_0^{2\pi}d\theta=\frac{8}3.2[2\pi-0]\\ \frac{32\pi}{3}\)

Assim, o volume é: 

\(\boxed{V=\frac{32\pi}{3}}\)