Galera, alguem tem respondido as integrais que sirlane passou pra entregar na próxima aula? São 3 letras. vale ponto, me ajudem

Relembrando o conceito de séries de potência, veja que ela se comporta como uma série geométrica. Entretanto, contrariando essa semelhança, possui uma variável como base da exponenciação (termo designado como "razão", em séries geométricas, a qual era um número constante).

Lembre-se, ainda, que o resultado de uma série geométrica pode ser representada da seguinte forma:

\(\sum_{n=1}^{n=\infty} r^n = \frac{1}{1-r}\)

Isso, portanto, assemelha-se à estrutura de uma serie de potência:

\(\sum_{n=1}^{n=\infty} [f(x)]^n = \frac{1}{1-f(x)}\)

Observe que a função dada não possui uma estrutura visual semelhante à resposta anterior. Dessa forma, devemos fazer uso das manipulações matemáticas:

\(f(x) = \frac{x}{x^2-3x+2} = \frac{x}{x^2 - 2\frac{3}{2}x + 2} = \frac{x}{x^2 - 2\frac{3}{2}x + 2 + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}} = \frac{x}{(x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}} = \frac{-x}{\frac{1}{4}-(x-\frac{3}{2})^2}\)

Veja que, agora, a função f(x) está "mais parecida" com a forma de uma série geométrica. Prosseguinto à manipulação, temos:

\( \frac{-x}{\frac{1}{4}-(x-\frac{3}{2})^2} = \frac{-x}{\frac{1}{4}(1 - \frac{(x-\frac{3}{2})^2}{4})} = \frac{-x}{\frac{1}{4}(1 - (\frac{x-\frac{3}{2}}{2})^2} = \frac{-x}{\frac{1}{4}(1 - \frac{2x - 3}{4})} = \frac{-4x}{(1 - \frac{2x - 3}{4})}\)

Agora sim, podemos representà-la em termos de uma série geométrica:

\(f(x) = -4x \sum_{n = 0}^{n = \infty} (\frac{2x - 3}{4})^n = \color{red}{- \sum_{n=0}^{n=\infty} 4^{1-n}x(2x-3)^n}\)