cálculo III lista 4

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FACULDADE METROPOLITANA 
DISCIPLINA: Cálculo III Prof.: Eliezer Oliveira Vila-Nova 
LISTA 4 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HOMOGÊNEAS 
Resolva a equação diferencial homogênea dada. 
1. 
x
yx
y
2
'


 4. 
xy
yx
y
2
'
22 

 
2. 
)yx(2
y
'y


 (usar a subst. x = yv) 5. 
22
'
yx
xy
y


 
3. 
yx
yx
y


'
 6. 
x
yx
y
23
'


 
Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada. 
7. xdy – (2xe-y/x + y)dx = 0; y(1) = 0 
9. 
0sec 





 xdydxy
x
y
x
; y(1) = 0 
 
8. – y2dx + x(x + y)dy = 0; y(1) = 1 
10. 
022 




  xdydxyxy
; y(1) = 0 
Respostas 
1) x = C.(x – y)² 
5) y = C 2
2
y2
x
e
 
9) y = x. arc sen(lnx) 
2) x = k.y² - 2y 6) y = kx² - 3x 10) y = x. sen(- lnx) 
3) x² - 2xy – y² = k 
7) xye = lnx² + 1 
 
4) x² - kx = y² 
8) y = 1xye  
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS 
Verifique se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontre sua solução geral. 
1. (2x – 3y)dx + (2y – 3x)dy = 0 
6. 2y
2
2xye
dx + 2xy 2xye dy = 0 
2. ye
x
dx + e
x
dy = 0 
7. 
0)(
1
22


ydxxdy
yx
 
3. (3y
2
 + 10xy
2
)dx + (6xy – 2 + 10x2y)dy = 0 
8. 
0)()(
22
 ydyxdxe yx
 
4. 2.cos(2x – y)dx - cos(2x – y)dy = 0 
9. 
 
0)(
1 22
2


dyxdxy
yx
 
5. (4x
3
 – 6xy2)dx + (4y3 – 6xy)dy = 0 10. 
   0cos  dytgxyxydxxye y
 
Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada. 
11. 
  02)1ln(
1


dyyxdx
x
y
; y(2) = 4 14. 0)3cos3(sen3  ydyydxe x ; y(0) =  
12. 
0)(
1
22


ydyxdx
yx
; y(4) = 3 
15. (2xtgy + 5)dx + (x
2
sec
2
y)dy = 0; y(0) = 0 
13. 
0)(
1
22


ydyxdx
yx
; y(0) = 4 
16. (x
2
 + y
2
)dx + 2xydy = 0; y(3) = 1 
Respostas 
1) x² - 3xy + y² = C 7) arc tg(x/y) = C 13) x² + y² = 16 
 
2) ye
x
 = C 
8) 
  Ce.
2
1 22 yx  
 
14) e
3x
.sen3y = 0 
3) 3xy² + 5x²y² - 2y = C 9) não é exata 15) x². tgy - 5x = 0 
 
4) sen(2x – y) = C 10) ey. senxy = C 
16) xy² + 
3
x 3 = 12 
5) não é exata 11) y.ln(x – 1) + y² = 16 
 
6) não é exata 12) 
5yx 22 