Os vértices de um triângulo são O (0,0,0) , A(3,4,0) e B(1,2,2). Forme as equações reduzidas da bissetriz interna do ângulo AOB e determine sua inters

Considerando um ponto \(P\) qualquer na bissetriz, temos a seguinte relação entre ângulos:

\(\hat{AOB}=2\hat{AOP}=2\hat{POB}\)

Para o ângulo \(\hat{AOB}\), temos:

\(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=||\vec{OA}||\cdot||\vec{OB}||cos\ \hat{AOB}\)

Para os dois outros ângulos, temos:

\(\left\{\begin{align} \vec{OA}\cdot\vec{OP}=||\vec{OA}||\cdot||\vec{OP}||cos\ \hat{AOP}\\ \vec{OP}\cdot\vec{OB}=||\vec{OP}||\cdot||\vec{OB}||cos\ \hat{POB} \end{align}\right.\)

Mas essas duas equações geram um plano. Precismos ainda da equação que faz com que os pontos sejam coplanares, isto é:

\((\vec{OA}\times\vec{OP})\times(\vec{OP}\times\vec{OB})=\vec{0}\)

Voltando ao sistema, temos:

\(\left\{\begin{align} \vec{OA}\cdot\vec{OP}&=||\vec{OA}||\cdot||\vec{OP}||cos\ \hat{AOP}\\ \vec{OP}\cdot\vec{OB}&=||\vec{OP}||\cdot||\vec{OB}||cos\ \hat{POB}\\(\vec{OA}\times\vec{OP})\times(\vec{OP}\times\vec{OB})&=\vec{0} \end{align}\right.\)

Substituindo os dados que já temos, ficamos com (AQUI):

\(\left\{\begin{align} (3,4,0)\cdot(x,y,z)&=5\sqrt{x^2+y^2+z^2}cos{1\over2}\hat{AOB}\\ (x,y,z)\cdot(1,2,2)&=3\sqrt{x^2+y^2+z^2}cos{1\over2}\hat{AOB}\\((3,4,0)\times(x,y,z))\times((x,y,z)\times(1,2,2))&=(0,0,0) \end{align}\right.\)

Vamos calcular os produtos vetoriais dados:

\((3,4,0)\times(x,y,z)=\begin{vmatrix}i&j&k\\3&4&0\\x&y&z\end{vmatrix}=(4z,-3z,3y-4x)\\ (x,y,z)\times(1,2,2)=\begin{vmatrix}i&j&k\\x&y&z\\1&2&2\end{vmatrix}=(2y-2z,z-2x,2x-y)\)

Efetuando os produtos escalares e substituindo os vetoriais, temos:

\(\left\{\begin{align} 3x+4y&=5\sqrt{x^2+y^2+z^2}cos{1\over2}\hat{AOB}\\ x+2y+2z&=3\sqrt{x^2+y^2+z^2}cos{1\over2}\hat{AOB}\\(4z,-3z,3y-4x)\times(2y-2z,z-2x,2x-y)&=(0,0,0) \end{align}\right.\)

Efetuando o produto vetorial, temos:

\(\begin{align}(4z,-3z,3y-4x)\times(2y-2z,z-2x,2x-y)&=\begin{vmatrix}i&j&k\\4z&-3z&3y-4x\\2y-2z&z-2x&2x-y\end{vmatrix}\\&=(-2xz+6xy-8x^2,6y^2-2yz-8xy,-8xz+6yz-2z^2)\\\end{align}\)

Rearranjando as duas primairas equações e substituindo o resultado anterior na terceira, temos:

\(\left\{\begin{align} {3x+4y\over5}&=\sqrt{x^2+y^2+z^2}cos{1\over2}\hat{AOB}\\ {x+2y+2z\over3}&=\sqrt{x^2+y^2+z^2}cos{1\over2}\hat{AOB}\\(-2xz+6xy-8x^2,6y^2-2yz-8xy,-8xz+6yz-2z^2)&=(0,0,0) \end{align}\right.\)

Dividindo a última equação em três e igualando as duas primeiras, temos:

\(\left\{\begin{align} 9x+12y&=5x+10y+10z\\-2xz+6xy-8x^2&=0 \\6y^2-2yz-8xy&=0 \\-8xz+6yz-2z^2&=0 \end{align}\right.\)

Tranformado o sistema anterior, temos:

\(\left\{\begin{align} 2x+y-5z&=0\\-2x(z-3y+4x)&=0 \\2y(3y-z-4x)&=0 \\-2z(4x-3y+z)&=0 \end{align}\right.\)

Já sabemos que \(P=O=(0,0,0)\) é solução. Se tomarmos duas variáveis nulas, chegaremos a essa mesma solução, então vamos considerar os outros casos. As três últimas equações tem duas possibilidades cada. Começando pela solução \(P=(0,y,z)\neq(0,0,0)\), temos:

\(\left\{\begin{align} y-5z&=0 \\3y-z&=0 \\-3y+z&=0 \end{align}\right.\)

Que também nos leva a \(P=O=(0,0,0)\). Para \(P=(x,0,z)\neq(0,0,0)\), temos:

\(\left\{\begin{align} 2x-5z&=0\\z+4x&=0 \\4x+z&=0 \end{align}\right.\)

Que também nos leva a \(P=O=(0,0,0)\). Para \(P=(x,y,0)\neq(0,0,0)\), temos:

\(\left\{\begin{align} 2x+y&=0\\-3y+4x&=0 \\3y-4x&=0 \end{align}\right.\)

Que também nos leva a \(P=O=(0,0,0)\). Vamos então considerar a solução completamente não nula \(P=(x,y,z)\neq(0,0,0)\):

\(\left\{\begin{align} 2x+y-5z&=0\\z-3y+4x&=0 \\3y-z-4x&=0 \\4x-3y+z&=0 \end{align}\right.\)

As três últimas equações são equivalentes. Ficamos com:

\(\left\{\begin{align} 2x+y-5z&=0\\z-3y+4x&=0 \end{align}\right.\)

Multiplicando a primeira por 3 e somando, temos:

\(10x-14z=0\Rightarrow z = {5\over7}x\)

Multiplicando a segunda por 5 e somando, temos:

\(22x-14y=0\Rightarrow y={11\over7}x\)

Para o ponto genérico procurado, temos:

\(P=\left(x,{11\over7}x,{5\over7}x\right)\)

Temos, portanto, a equação vetorial da reta:

\(\boxed{\vec{P}=\left(1,{11\over7},{5\over7}\right)x}\)