Como calcular essas integrais alguém sabe ??

∫ raiz(x-1)= (2(x−1)^3/2)/3. Substituindo os valores de x por 5 e por 1 e fazendo o primeiro resultado menos o segundo, você obterá o resultado igual a 16/3 = 5,3333

∫ x^2/raiz(x^3+9) =2/3 raiz(x^3+9). Substituindo esses valores de x por -1 e 1 e fazendo o primeiro resultado menos o segundo, você obterá o resultado igual a  2/3.raiz(2). (raiz(5)-2) = 0,22257

O resultado da terceira integral fica ∫ f(x)dx = (32x^15+80x^14−240x^13+520x^12+3050x^11−5519x^10+1180x^9+41350x^8−54640x^7−10200x^6+255456x^5−299600x^4+39200x^3+631120x^2−768320x)/16

Espero ter ajudado.

Para calcular a integral dada, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & f=x\sqrt{x-1} \\ & \int_{{}}^{{}}{f(x)}=\int_{{}}^{{}}{x\sqrt{x-1}} \\ & \int_{{}}^{{}}{x\sqrt{x-1}=\int_{{}}^{{}}{({{u}^{2}}+1)u2udu}} \\ & \int_{{}}^{{}}{x\sqrt{x-1}=2\int_{{}}^{{}}{{{u}^{2}}({{u}^{2}}+1)}} \\ & \int_{{}}^{{}}{x\sqrt{x-1}=2\left( \frac{{{u}^{5}}}{5}+\frac{{{u}^{3}}}{3} \right)} \\ & \int_{{}}^{{}}{x\sqrt{x-1}=2\left( \frac{{{(x-1)}^{5/2}}}{5} \right)+}2\left( \frac{{{(x-1)}^{3/2}}}{3} \right) \\ & \int_{{}}^{{}}{x\sqrt{x-1}=2\left( \frac{{{(x-1)}^{5/2}}}{5} \right)+}2\left( \frac{{{(x-1)}^{3/2}}}{3} \right)+C \\ \end{align}\ \)

Vamos agora calcular essa integral para o intervalo definido:

\(\begin{align}&&\int_1^5 {x\sqrt {x - 1} } &= 2\left( {\frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^{5/2}}}}{2}} \right) + 2\left( {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^{3/2}}}}{3}} \right) + C\\&&C = 10\\&&\left[ {2\left( {\frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^{5/2}}}}{2}} \right) + 2\left( {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^{3/2}}}}{3}} \right)} \right]_1^5 + 10 &= \left[ {2\left( {\frac{{{{\left( {5 - 5} \right)}^{5/2}}}}{2}} \right) + 2\left( {\frac{{{{\left( {5 - 1} \right)}^{3/2}}}}{3}} \right)} \right] - \left[ {2\left( {\frac{{{{\left( {1 - 5} \right)}^{5/2}}}}{2}} \right) + 2\left( {\frac{{{{\left( {1 - 1} \right)}^{3/2}}}}{3}} \right)} \right] + 10\\&&\left[ {2\left( {\frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^{5/2}}}}{2}} \right) + 2\left( {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^{3/2}}}}{3}} \right)} \right]_1^5 + 10 &= \left[ {5,33} \right] - \left[ {64} \right] + 1\\&&\left[ {2\left( {\frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^{5/2}}}}{2}} \right) + 2\left( {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^{3/2}}}}{3}} \right)} \right]_1^5 + 10 &= - 48,67\end{align}\)

Portanto, o valor da integral será \(\boxed{\left[ {2\left( {\frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^{5/2}}}}{2}} \right) + 2\left( {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^{3/2}}}}{3}} \right)} \right]_1^5 + 10 = - 48,67}\).