Galera alguém pode me ajudar nesse exercício teórico aqui?

Trate como se a força fosse dada por uma relação do tipo: F = mv²/R, ou seja, F = kv², mantendo as variaveis m e R constantes, já que não há alterações no comprimento do fio, ou seja, em L, e as densidade do fio pode ser considerada constante, no caso a distribuição linear de massa, lambda = m/L, então como a força dobra, F'=2F, a razão entre a velocidade nova e a antiga será: dividindo F'/F = 2F/F = 2 = v'²/v²; logo: v'/v = raizquadrada(2). Espero ter ajudado. Essa avaliação da força é um método um pouco mais intuitivo, mas se você fizer uma análise considerando um pequeno elemento de corda com uma onda se deslocando através dele, ou seja, deformando a corda tal que os ponto da curva possam ser aproximados por um arco de circunferência, já que a onda é dada como circular e uniforme, então você chegará exatamente numa expressão semelhante a que mostrei. 

Dê uma olhada aqui: https://www.passeidireto.com/arquivo/2215958/aula_de_ondas/4

Pela fórmula de Taylor, temos a velocidade de onda em função da tração e da densidade linear de corda:

\(v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}\)

Se não houve variação do comprimento, não há variação da densidade. A nova velocidade será:

\(v' = \sqrt{\frac{2T}{\mu}} \\ v'= \sqrt{2} \sqrt{\frac{T}{\mu}}\)

Portanto, a razão pedida será:

\(\boxed{\frac{v'}{v} = \sqrt{2}}\)