Como calcular integral de Secante ao cubo?

\(\int sec^3x dx\)= \(\int secx sec^2x dx\)

\(u= secx ;du= secxtgx dx; v= sec^2x dx; dv= tgx\) (aplicando integração partes teremos)

\(secxtgx-\int secxtg^2xdx\) ( mas \(tg^2x= sec^2x-1\) teremos)

\(secxtgx-\int secx(sec^2x-1)dx\)

\(secxtgx -\int (sec^3x-secx)dx \)

\(secxtgx-\int sec^3xdx +\int secxdx\) (teremos o seguinte)

\(\int sec^3x=secxtgx - \int sec^3x dx+ \int secxdx\)

\(2 \int sec^3x= secx tgx+ ln(secx+tgx)\) (logo)

\(\int sec^3x= 1/2 (secxtgx)+1/2(ln(secx+tgx)+K\)

O método utilizado na integral de  , é Partes.

Lembrando que a integração por partes possui a expressão

onde  nós derivamos para obtermos 

, e  nós integramos para obtermos 

Primeiramente, abriremos  como , ficando:

Chamaremos  

  de ; então, sua derivada, 

 de , então, sua integral, , fica:

Feito isso, basta substituirmos ,  e  na expressão. Ficando:

Uma vez que , temos:

aplicando a distributiva, temos

Uma vez que a integral da soma é igual a soma das integrais, temos:

como a integral da secante é tabelada, temos que:

Resposta: