Como calcular integral de linha?

Parametrize a curva para uma variavel t e depois resolva como integral de uma variavel.

Primeiramente é importante entender que integrais de linha são. Para tal, começaremos com uma breve explicação das integrais simples ou unidimensionais, uma vez que seus conceitos são semelhantes.

Integrais Simples são utilizadas para calcular a área sob a curva no plano cartesiano. Ela é representada por:

Esta expressão representa o somatório dos valores da função f(x) = y dentro do intervalo (a;b). Justamente este somatório representa a área no sob uma curva no plano cartesiano, conforme figura abaixo:

Assim como podemos calcular a área sob uma curva para f(x) num plano bidimensional, podemos calcular a área em uma curva do plano xy para uma função f(x,y) = z. Para tal, utilizamos a definida Integral de Linha. Por exemplo, para uma função positiva, sua integral numa curva K pode ser interpretada como a área entre a curva e a mesma função. Observe a figura abaixo para ilustração:

Representamos a Integral de linha como sendo:

Onde ds representa uma divisão infinitesimal da curva K.

Vamos a um exemplo com passo a passo para facilitar a compreensão.

Exercício – Calcule $\int_C2+x^2y\,ds$, Onde C é a curva parametrizada por (t) = (cos t, sem t), onde 0 ≥ t ≥ π.

Primeiro, monte o problema, para tal utilizaremos a fórmula:

Já temos que a = 0 e b = π.

A parametrização da curva nos dá $x(t) = \cos t$ e $y(t) = \sin t$, como exposto no enunciado.

Após isso, calcularemos , para tal, basta derivarmos a equação:

Depois calcularemos o modulo do vetor que encontramos acima:

Substituiremos o módulo na integral e escreveremos f em função de t:

Lembre que a parametrização definiu $x(t) = \cos t$ e $y(t) = \sin t$. Utilizamos isso para substituir na função que vamos integrar, $2+x^2y$.

Após isso calculamos a integral: