Como calcular esse Limite ( um numero elevado ao quadrado dividi-o por um quadrado

F (x) = 3x² - 17x + 20

F’ = 6x – 14

G (x) = 4x² - 25x + 36

G’ = 8x – 25

Perceba que quando substituímos \(x=4\) no limite, resulta em \(0\) dividido por zero, o que é uma indeterminação.

Nesses casos temos duas opções:

-Usar a regra de L'hospital: basta derivar a função em cima e a função em baixo e aplicar novamente \(x=4\)

-Fatorar as duas funções e encontrar um termo comum para cortar.

Vamos utilizar a fatoração:

\( 3x^2 - 17x + 20 =(\left(x-4\right)\left(3x-5\right))\)

\(4x^2 - 25x + 36 =\left(x-4\right)\left(4x-9\right)\)

Assim, podemos cortar o \(x-4\) e o limite fica:

\(\lim _{x\to \:4}\left(\frac{3x-5}{4x-9}\right)=\frac{3\cdot \:4-5}{4\cdot \:4-9}=1\)

Por L'hospital temos:

\(\lim _{x\to 4}\left(\frac{\left(\:3x^2\:-\:17x\:+\:20\:\right)}{4x^2\:-\:25x\:+\:36}\right)=\lim _{x\to 4}\left(\frac{\left(\:6x\:-\:17\:\:\right)}{8x^\:-\:25\:}\right)\\ {\lim _{x\to 4}\left(\frac{\left(\:6x\:-\:17\:\:\right)}{8x^\:-\:25\:}\right)=\left(\frac{\left(\:6.4\:-\:17\:\:\right)}{8.4^\:-\:25\:}\right)=\left(\frac{\left(7\:\:\right)}{7\:}\right)=1}\)

Portanto:

\(\boxed{\lim _{x\to 4}\left(\frac{\left(\:3x^2\:-\:17x\:+\:20\:\right)}{4x^2\:-\:25x\:+\:36}\right)==1}\)