calculo

A integral utilizada é:

V = 2*pi∫x [ f( x )- g( x )]dx;       para rotação em torno de y

V =2*pi ∫y [ f( y )- g( y )]dy ;      para rotação em torno de x

onde f e g são as equações que limitam a região.

Para determinar os limites da integral, iguala-se as funções f e g. Para a questão dada:

x= x^2 ; essa igualdade é verdadeira para x=0 e x=1 que são os limites de integração utilizados  na integral em torno de y.

Da mesma forma:

se y= x^2, x=y^(1/2) logo,

y= y^(1/2) que é válida para y=0 e y=1 e utilizada na integral em torno de x.

Observações: "f" é a função de crescimento mais rápido em torno do eixo dado, logo, para uma rotação em torno de y, a função y=x cresce mais rápido e para uma rotação em torno de x, x=y^(1/2) cresce mais rapidamente. Para determinar qual das funções cresce mais rápido é só usar uma reta paralela ao eixo de rotação que corte as funções dadas.

Calculando as integrais:

• Em torno de y:

V = 2*pi∫x [ x- x^2]dx =  2*pi∫ [x^2 - x^3]dx com limites de integração inferior=0 e superior=1;

V = pi/6;

• Em torno de x:

V = 2*pi∫y [y^(1/2) - y]dy = 2*pi∫ [ y^(3/2) - y^2]dy com limites de integração inferior=0 e superior=1;

V=2*pi/15;

Vamos usar nossos conhecimentos sobre Cálculo envolvendo geometria e Integral.

O volume de um sólido obtido por rotação de uma função ao redor do eixo x é calculado como segue:

No nosso caso, vamos encontrar os pontos onde as funções e se interceptam para definirmos os limites da integração:

Agora, basta encontrarmos a diferença entre os volumes dos sólidos de cada função rotacionada:

Assim, o volume da região entre as funções rotacionada é de .

Vamos usar nossos conhecimentos sobre Cálculo envolvendo geometria e Integral.

O volume de um sólido obtido por rotação de uma função ao redor do eixo x é calculado como segue:

No nosso caso, vamos encontrar os pontos onde as funções e se interceptam para definirmos os limites da integração:

Agora, basta encontrarmos a diferença entre os volumes dos sólidos de cada função rotacionada:

Assim, o volume da região entre as funções rotacionada é de .