Sequência Numerica

“Critério da Comparação

Sejam \(\sum a_n\) e \(\sum bn\) duas séries de termos reais.

Teorema: Suponha que \( 0 ≤an≤bn, \forall n≥0\). Então

1. Se \(\sum b_n\) é convergente, então \(\sum a_n \) é convergente.
2. Se \(\sum a_n \)é divergente, então\( \sum b_n\) é divergente.”

Suponho que ele queira utilizar o item a).

Denotaremos nosso \(a_n \) por \(a_n\) = \(\dfrac{5}{n^4+1}\)

Se, \(0 \leq a_n \leq b_n\) então:

\( 0 \leq \dfrac{5}{n^4+1} \leq \dfrac{5}{n^4}\)

Igualando os denominadores, teremos:

\(0 \leq \dfrac{5n^4}{n^4(n^4+1)} \leq  \dfrac{5(n^4+1)}{n^4(n^4+1)}\)

Como \(n^4(n^4+1) > 0\), teremos:

\(0 \leq 5n^4 \leq 5(n^4+1) \implies 0 \leq 5n^4 \leq 5n^4 + 5\implies -5n^4 \leq 0 \leq 5\)

O que é sempre verdade\( \forall n \geq 0\), como pedido pelo teorema. Logo, podemos aplicar o teorema.

\(\sum b_n = 5 \sum \dfrac{1}{n^4}\)

Sabemos que \(\dfrac{1}{n^4}\) é uma p-série com p = 4, portanto, \(5 \sum \dfrac{1}{n^4}\) converge, ou seja, \(\sum b_n\) converge.

Se \(\sum b_n\) converge, pelo teorema, \(\sum a_n\) também converge.

Para esse exercício vamos usar o teste da comparação para estudar a convergência da série:

$$\sum\limits_{n=0}^\infty{5\over n^4+1}$$

Para facilitar a nomenclatura, vamos chamar cada termo da série de $a_n$, isto é:

$$a_n={5\over n^4+1}$$

Note que se adicionarmos um número positivo ao denominador de uma fração positiva seu módulo diminui, isto é:

$$0<{5\over n^4+1}<{5\over n^4}$$

Somando sobre todos os valores de $n$ positivos, temos:

$$0<\sum\limits_{n=1}^\infty {5\over n^4+1}<\sum\limits_{n=1}^\infty {5\over n^4}$$

Mas a segunda série converge, já que é 4-harmônica.

Logo, pelo teste da comparação, temos que $\sum\limits_{n=0}^\infty{5\over n^4+1}$ converge.

Para esse exercício vamos usar o teste da comparação para estudar a convergência da série:

$$\sum\limits_{n=0}^\infty{5\over n^4+1}$$

Para facilitar a nomenclatura, vamos chamar cada termo da série de $a_n$, isto é:

$$a_n={5\over n^4+1}$$

Note que se adicionarmos um número positivo ao denominador de uma fração positiva seu módulo diminui, isto é:

$$0<{5\over n^4+1}<{5\over n^4}$$

Somando sobre todos os valores de $n$ positivos, temos:

$$0<\sum\limits_{n=1}^\infty {5\over n^4+1}<\sum\limits_{n=1}^\infty {5\over n^4}$$

Mas a segunda série converge, já que é 4-harmônica.

Logo, pelo teste da comparação, temos que $\sum\limits_{n=0}^\infty{5\over n^4+1}$ converge.