O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t)=t³i+t²j. Calcule a aceleração em t=2s.

A taxa de variação da posição é a velocidade (pense no caso de variação linear: \(v_m = \dfrac{\Delta S}{\Delta t}\), onde \(v_m\) é a velocidade média).

A taxa de variação da velocidade é a aceleração (pense no caso de variação linear: \(a_m = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}\), onde \(a_m \) é a aceleração média).

No ensino superior, nós tratamos a taxa de variação instantânea de uma função como a sua derivada. Se nós temos a descrição em números dessa função, podemos derivar a função e saber sua variação instantânea em todos os pontos.

\(a(t) = \dfrac{d^2\overrightarrow{r}(t)}{dt^2} = \dfrac{d}{dt} \dfrac{d \overrightarrow{r}(t)}{dt} = \dfrac {d}{dt} (3t^2\overrightarrow{i} + 2t\overrightarrow{j}) = (6t\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}) \implies a(t) = 6t\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}\)

Temos agora a equação da aceleração para qualquer instante de tempo. Como foi pedido t = 2, basta calcular \(a(t=2) = a(2)\):

\(a(2) = 6*2\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} \implies a(2) = 12\overrightarrow{i} + 2 \overrightarrow{j}\)

Qualquer dúvida só avisar!

A derivação ou diferenciação de uma função a respeito de uma variável mostra a taxa de variação infinitesimal dessa função no ponto em que se está analisando. Para vários pontos de uma função, pode se determinar uma outra função que represente a derivada dos pontos da função inicial, porém existem algumas regras que devem ser empregadas para se encontrar esta nova função, inclusive para funções vetoriais como aquela enunciada. 

No caso, a função dada é o vetor posição (r) do objeto em função o tempo (t):

O vetor aceleração dessa partícula corresponde à segunda derivada do vetor posição, portanto é:

No instante 2 segundos, a aceleração é igual à

Portanto, a aceleração da partícula, em t = 2 segundos, possui módulo igual a 12,166 unidades de aceleração e é representada pelo seguinte vetor:

A derivação ou diferenciação de uma função a respeito de uma variável mostra a taxa de variação infinitesimal dessa função no ponto em que se está analisando. Para vários pontos de uma função, pode se determinar uma outra função que represente a derivada dos pontos da função inicial, porém existem algumas regras que devem ser empregadas para se encontrar esta nova função, inclusive para funções vetoriais como aquela enunciada.

No caso, a função dada é o vetor posição (r) do objeto em função o tempo (t):

O vetor aceleração dessa partícula corresponde à segunda derivada do vetor posição, portanto é:

No instante 2 segundos, a aceleração é igual à

Portanto, a aceleração da partícula, em t = 2 segundos, possui módulo igual a 12,166 unidades de aceleração e é representada pelo seguinte vetor: