Galera, me ajuda nessa.

Quando o exercício diz eixo-x, está querendo dizer na direção u = i (positivo mesmo). Logo, a taxa de variação de T no ponto (1,2) nessa direção será: 

dT/du = (dT/dx) i = 10*2*(x²+y²)*2*x = 10*2*(1+4)*2 i = 200 i °C/cm (repare que a unidade é °C/cm, e não cm). 

Analogamente, quando o exercício diz eixo-y, temos que a direção será u = j. Assim, temos: 

dT/du = (dT/dy) i = 10*2*(x²+y²)*2*y = 10*2*(1+4)*4 i = 400 j °C/cm 

Já para o último caso, primeiro temos que normalizar o vetor a: 

u = a/||a|| = (2/√5)i + (1/√5)j 

Já sabemos os valores das derivadas parciais de T em y e x no ponto (1,2) 

dT/dx = 200 °C/cm 
dT/dy = 400 °C/cm 

Assim temos que 

dT/du = (dT/dx)*(2/√5)i + (dT/dy)*(1/√5)j °C/cm 

dT/du = (400/√5)i + (400/√5)j °C/cm

Contextualização:

Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n) é chamada uma equação diferencial de ordem n.

Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação).

Classificação

Equação Diferencial Ordinária (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.

Equação Diferencial Parcial (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.

Ordem: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.

Exemplos:

, tem ordem 1 e grau 1

, tem ordem 2 e grau 3

, tem ordem 3 e grau 3

Referência: https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/eq.php - Acessado em 12/10/2018

Resolução:

Para calcularmos a taxa de variação instantânea de T em relação à distância na direção do eixo x, devemos derivar a função   em função da variável x, conforme abaixo:

Sendo assim, no ponto (1,2), a taxa de variação instantânea de T em relação à distância na direção do eixo x é:

Portanto:

Conclusão:

Portanto, no ponto (1,2), a taxa de variação instantânea de T em relação à distância na direção do eixo x é:

Contextualização:

Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n) é chamada uma equação diferencial de ordem n.

Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação).

Classificação

Equação Diferencial Ordinária (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.

Equação Diferencial Parcial (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.

Ordem: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.

Exemplos:

, tem ordem 1 e grau 1

, tem ordem 2 e grau 3

, tem ordem 3 e grau 3

Referência: https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/eq.php - Acessado em 12/10/2018

Resolução:

Para calcularmos a taxa de variação instantânea de T em relação à distância na direção do eixo x, devemos derivar a função em função da variável x, conforme abaixo:

Sendo assim, no ponto (1,2), a taxa de variação instantânea de T em relação à distância na direção do eixo x é:

Portanto:

Conclusão:

Portanto, no ponto (1,2), a taxa de variação instantânea de T em relação à distância na direção do eixo x é: