l 1/3 do tamanho eixo principal desse espelho. A distância entre a imagem e o objeto é de 0,8 m. Determine o raio de curvatura, em m, deste espelho.

Para resolver esta questão precisamos lembrar dos conceitos de espelhos esféricos em óptica, em especial o espelho côncavo. Primeiro é preciso lembrar da equação de ampliação de imagem em um espelho. Para espelhos ĉoncavos essa equação é dada por:

$$A=-\frac{i}{o}=\frac{d_i}{d_o},$$

onde: $i$: tamanho da imagem;

          $o$: tamanho do objeto;

          $d_i$: distância da imagem ao vértice do espelho;

          $d_o$: distância do objeto ao vértice do espelho.

Com essa relação, conseguimos determinar as distâncias da imagem e do objeto ao  espelho, e assim, utilizando a seguinte equação, chamada equação dos pontos conjugados:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i},$$

onde $f$ é a distância focal do espelho e é igual a $R/2$, conseguimos determinar o raio de curvatura do espelho.

Vamos começar os cálculos utilizando a equação da ampliação da imagem. Sabemos que a imagem é 1/3 do tamanho do objeto e invertida, logo $i=-o/3$, e sabemos que a distância entre a imagem e o objeto é de $d_o-d_i=0.8$m, portanto, $d_i=d_o-0.8$m. Substituindo na equação da ampliação da imagem, obtemos:

$$-\frac{-o/3}{o}=\frac{d_o-0.8}{d_o}\Rightarrow d_o=1.2\text{m}.$$

E portanto, $d_i=0.4$m. Podemos agora, utilizando a equação dos pontos conjugados, determinar a distância focal:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{0.4}\Rightarrow f=0.3\text{m}$$.

Finalmente, o raio de curvatura, $R=2f$, é dado por

$$\boxed{R=0.6\text{m}}.$$