use a definição de derivada para provar que a derivada da função x^4 é 3x^3

Olá, temos a função dada por \(f(x)=x^{4}\). 

A derivada é definida pelo limite: \(f'(x)=\lim_{Δ x \to 0 }\frac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx}\).

\(f'(x)=\lim_{Δ x \to 0 }\frac{(x+Δx)^{4}-x^{4}}{Δx}\)

\(f'(x)=\lim_{ Δx \to 0 }\frac{x^{4}+4x^{3}+O[(Δx)^{2}]-x^{4}}{Δx}\\ f'(x)=\lim_{ Δx \to0 }{4x^{3}}+O[(Δx)^{2}]=4x^{3}\)