Determinar um versor ortogonal aos vetores u=3i+4j e v=4i­3j+2k.

Bom dia!

Um vetor ortogonal a dois é só fazer o produto vetorial entre eles.

u x v = (3i+4j)x(4i-3j+2k)=(8i-6j-25k)

Versor é um vetor unitário, portanto, basta dividir o vetor pela sua norma.

||u x v|| = √(8²+6²+25²)=√(64+36+625)=√725=5√29

Então, o versor procurado é:

(8i-6j-25k)/(5√29)=(8/(5√29))i-(6/(5√29))j-(25/(5√29))k=

(8√29/145)i-(6√29/145)j-(5√29/29)k

Espero ter ajudado!

Obs.: Caso queira obter um vetor ortogonal SEM usar produto vetorial tente fazer o seguinte: se for w o vetor ortogonal que quer procurar, chame w = (ai+bj+ck) e faça (resolva) o seguinte sistema:

uw = 0 e vw = 0 (produto interno igual a zero)

Resolva o sistema em função de uma das variáveis (pode ser a letra c), arbitre um valor para c e obtenha um vetor ortogonal a ambos. Dá mais trabalho, mas é uma forma de se resolver o problema!

Para determinar um vetor ortogonal simultaneamente a dois vetores , devemos calcular o produto vetorial:

\(\left[ \begin{array}{c c c} i&j&k\\ 3&4&0\\ 4&3&2\\ \end{array}\right] \)

O determinante é:

\(-16k-6j+8i+9k=8i-6j-7k\)

O vetor é, portanto: 

w= ( 8; -6; -7)

O versor é um vetor unitário, dado por:

\(w^ {*}=\frac{w}{|w|}\)

Calculando a norma |w| :

\(|w|= \sqrt{8^2+6^2+7^2}\\ |w|= \sqrt{64+36+49}\\ |w|= \sqrt{149}\\\)

Substituindo :

\(w^ {*}=\frac{( 8; -6; -7)}{\sqrt{149}}\\ \boxed{w^ {*}=( \frac{8}{\sqrt{149}}; -\frac{6}{\sqrt{149}}; - \frac{7}{\sqrt{149}})\\}\)

Bom dia,

Como (3i...)x(4i...) deu = (8i...)?