Como calcular a integral de x²-2x+1/x²-4 aplicando o método de interação parcial?

x² -4 = (x+2) (x-2)

x²-2x+1/(x+2) (x-2) = A/(x+2) + B/(x-2) = A(x-2) + B(x+2)/ (x+2) (x-2)
x² -2x + 1 = A(x-2) + B(x+2)

(Encontrar um valor que anule B)
* Para x = 2
1 = 4A
A = 1/4

(Encontrar um valor que anule A)
* Para x = -2
9 = -4B
B = -9/4

∫ x²-2x+1/(x+2) (x-2) = 1/4 ∫ 1/(x+2) -9/4 ∫ 1/(x-2) dx
∫ x²-2x+1/(x+2)(x-2) = 1/4 ln l x+2 l - 9/4 ln l x-2 l + C


Não tenho certeza, mas acho que é essa a resposta

Separando em diferentes integrais

Resolvendo cada integral separadamente

Nesse caso podemos usar a regra do expoente

Portanto

O dois negativo pode ser retirado da integral pois é uma constante

Aplicamos novamente a regra do expoente, e poderemos cancelar o numerador com o denominador pois ambos são dois.

Pelo método das frações parciais teremos

Fazemos então

Substituindo A em B

Portanto teremos

Substituindo na integral

Separando e colocando as constantes para fora da integral

Resolvendo as integrais separadamente

3.1.  

​​​​​​​3.2. 

Unindo as integrais

Colocando todas as integrais juntas

Colocando o logaritmo em valor absoluto e reescrevendo teremos