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Como Calcular a Sequência de Fibonacci?

Matemática

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rosana Hellen

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Especialistas PD

Na matemática, a Sucessão de Fibonacci (também Sequência de Fibonacci), é uma sequência de números inteiros, começando normalmente por 0 e 1, na qual, cada termo subsequente corresponde à soma dos dois anteriores. A sequência recebeu o nome do matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido por Fibonacci, que descreveu, no ano de 1202, o crescimento de uma população de coelhos, a partir desta. Esta sequência já era, no entanto, conhecida na antiguidade.

Os números de Fibonacci são, portanto, os números que compõem a seguinte sequência (sequência A000045 na OEIS):

0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Em termos matemáticos, a sequência é definida recursivamente pela fórmula abaixo, sendo o primeiro termo F1= 1:

{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},}

{\displaystyle F_{1}=1,\;F_{2}=1.}

Mas genericamente, chama-se sequência de Fibonacci qualquer função g tal que g(n + 2) = g(n) + g(n + 1). Essas funções são precisamente as de formato g(n) = aF(n) + bF(n + 1) para alguns números a e b, então as sequências de Fibonacci formam um espaço vetorial com as funções F(n) e F(n + 1) como base.

Em particular, a sequência de Fibonacci com F(1) = 1 e F(2) = 3 é conhecida como a sequência de Lucas. A importância dos números de Lucas L(n) reside no fato deles gerarem a Proporção áurea para as n-ésimas potências:

{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)^{n}={\frac {1}{2}}\left(L(n)+F(n){\sqrt {5}}\right).}

Os números de Lucas se relacionam com os de Fibonacci pela fórmulas:

{\displaystyle L(n)=F(n-1)+F(n-2).,}

{\displaystyle F(2n)=F(n)L(n),}

{\displaystyle \prod _{p=1}^{n}L_{2^{p}}=F_{2^{n+1}}}

e

{\displaystyle L(n)=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}.}

 

Observando-se que {\displaystyle (1+{\sqrt {5}})(1-{\sqrt {5}})=-4,} logo {\displaystyle (1-{\sqrt {5}})={\frac {-4}{1+{\sqrt {5}}}}} e que {\displaystyle \left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}=1+\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right),} pois é a solução de {\displaystyle x^{2}=1+x} e substituindo isso em {\displaystyle L(n),} obtemos a fórmula apenas em termos da raiz positiva:

{\displaystyle L(n)={\frac {\left({1+\left({\frac {1+{\sqrt {5}})}{2}}\right)}\right)^{n}+(-1)^{n}}{{({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}})^{n}}}}

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