Verifique se a transformção T:R²-> R³ T(x,y)= (x-y, 3x, -2y) é linear.

Como a transformação é de R² em R³ ,temos que: 

( x , y ) = α( - 1 , 1 ) + β( 0 , 1 ) 

Montando o sistema,fica; 

{ α.(-1) + β.0 = x 
{ α.1 + β.1 = y 

{ -α = x 
{ α + β = y 

{ α = - x ▬▬▬▬ ( I ) 
{ α + β = y ▬▬▬▬ ( I I ) 


Substituindo ( I ) em ( I I ), temos: 

- x + β = y 

β = y + x 

Então; 

( x , y ) = - x.( - 1 , 1 ) + ( x + y ).( 0 , 1 ) 

Aplicando a definição,temos que: 

T( x , y ) = - xT( - 1 , 1 ) + ( x + y )T( 0 , 1 ) 

T( x , y ) = - x.( 3 , 2 , 1 ) + ( x + y ).( 1 , 1 , 0 ) 

T( x , y ) = ( - x.3 + (x + y).1 , - x.2 + (x + y).1 , - x.1 + (x + y) .0 ) 

T( x , y ) = ( - 3x + x + y , - 2x + x + y , - x + 0 ) 

R ▬▬▬▬► T( x , y ) = ( - 2x + y , - x + y , - x ) , essa é a transformação linear procurada! 

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Uma transformação \(T\) é dita linear quando dados os elementos \(u\) e \(v\) e o escalar \(\alpha\) são válidas as seguintes relações:

• \(T(u+v)=T(u)+T(v)\)
• \(T(\alpha u)=\alpha T(u)\)

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Vamos verificar essas relações para o nosso caso, tomando \(u=(x_u,y_u)\) e \(v=(x_v,y_v)\). É dado:

\[T(x,y)=(x-y,3x,-2y)\]

Para a primeira propriedade, temos:

\[T(u+v)=T(x_u+x_v,y_u+y_v)=((x_u+x_v)-(y_u+y_v),3(x_u+x_v),-2(y_u+y_v))\]

Usando a propriedade distributiva, temos:

\[T(u+v)=(x_u+x_v-y_u-y_v,3x_u+3x_v,-2y_u-2y_v)\]

Rearranjando:

\[T(u+v)=((x_u-y_u)+(x_v-y_v),(3x_u)+(3x_v),(-2y_u)+(-2y_v))\]

Separando como uma soma de vetores, temos:

\[T(u+v)=(x_u-y_u,3x_u,-2y_u)+(x_v-y_v,3x_v,-2y_v)\]

Ou:

\[\boxed{T(u+v)=T(u)+T(v)}\]

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Vamos agora verificar a segunda propriedade:

\[T(\alpha u)=T(\alpha x_u,\alpha y_u)=((\alpha x_u)-(\alpha y_u),3(\alpha x_u),-2(\alpha y_u))\]

Fatorando com o fator \(\alpha\) comum em evidência:

\[T(\alpha u)=(\alpha (x_u-y_u),\alpha 3x_u,\alpha(-2y_u))\]

Evidenciando \(\alpha\) também em relação ao vetor:

\[T(\alpha u)=\alpha(x_u-y_u,3x_u,-2y_u)\]

Logo:

\[\boxed{T(\alpha u)=\alpha T(u)}\]

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Concluímos, portanto, que a transformação a seguir é uma transformação linear:

\[\boxed{T(x,y)=(x-y,3x,-2y)}\]