faz-se girar um triangulo de hipotenusa h em torno de um de seus catetos gerando um cone circular reto. determine o cone de volume maximo

nao saberrr

Nesse exercício vamos estudar cones.

O volume do cone é dado por:

$$V=\dfrac{\pi}3r^2H$$

No nosso caso, $H$ será um dos catetos e $r$ o outro, de forma que pelo teorema de Pitágoras, temos:

$$r^2+H^2=h^2\Rightarrow r^2=h^2-H^2$$

Vamos então atualizar a fórmula do volume:

$$V=\dfrac{\pi}3 (h^2-H^2)H=\dfrac{\pi}3 (h^2H-H^3)$$

Queremos maximizar o volume, então vamos derivar e igualar a zero:

$$\dfrac{dV}{dH}=0=\dfrac{\pi}3 (h^2-3H_0^2)\Rightarrow H_0=\dfrac{h}{\sqrt3}$$

De forma que o raio é:

$$r_0=\sqrt{ h^2-H_0^2}=\sqrt{h^2-\dfrac{h^2}{3}}=h\sqrt{\dfrac23}$$

E o volume:

$$V_0=\dfrac{\pi}3r_0^2H_0 =\dfrac{2\pi}{9\sqrt3}h^3$$

Triângulo retângulo de catetos:

$$\boxed{H_0=\dfrac{h}{\sqrt3}},\boxed{r_0= h\sqrt{\dfrac23}}$$

Que gera um cone de volume:

$$\boxed{V_0=\dfrac{2\pi}{9\sqrt3}h^3}$$

Nesse exercício vamos estudar cones.

O volume do cone é dado por:

$$V=\dfrac{\pi}3r^2H$$

No nosso caso, $H$ será um dos catetos e $r$ o outro, de forma que pelo teorema de Pitágoras, temos:

$$r^2+H^2=h^2\Rightarrow r^2=h^2-H^2$$

Vamos então atualizar a fórmula do volume:

$$V=\dfrac{\pi}3 (h^2-H^2)H=\dfrac{\pi}3 (h^2H-H^3)$$

Queremos maximizar o volume, então vamos derivar e igualar a zero:

$$\dfrac{dV}{dH}=0=\dfrac{\pi}3 (h^2-3H_0^2)\Rightarrow H_0=\dfrac{h}{\sqrt3}$$

De forma que o raio é:

$$r_0=\sqrt{ h^2-H_0^2}=\sqrt{h^2-\dfrac{h^2}{3}}=h\sqrt{\dfrac23}$$

E o volume:

$$V_0=\dfrac{\pi}3r_0^2H_0 =\dfrac{2\pi}{9\sqrt3}h^3$$

Triângulo retângulo de catetos:

$$\boxed{H_0=\dfrac{h}{\sqrt3}},\boxed{r_0= h\sqrt{\dfrac23}}$$

Que gera um cone de volume:

$$\boxed{V_0=\dfrac{2\pi}{9\sqrt3}h^3}$$