Problemas de otimização cálculo I

x² + (y - 30)² = R² 

Assim, 

2*x*(dx/dt) + 2*(y - 30)*(dy/dt) = 2*R*dR/dt 

Daí, 

x*v + (y - 30)*u = R*dR/dt 

dR/dt = [x*v + (y - 30)*u]/R 

Mas, para t = 0,5 horas, temos, x = 8 km e y = 10km. Assim, 

x² + (y - 25)² = R² 
64 + 225 = R² 
289 = R² 

Ou seja, 

R = 17 km 

Desse modo, temos, 

dR/dt = [8*16 + (10 - 25)*20]/17 
dR/dt = (128 - 300)/17 

Portanto, 

dR/dt = - 172/17 km/h 

RESPOSTA 

dR/dt = - 172/17 km/h

Tentando formular equações para os deslocamentos dos dois navios, nós temos:

No instante zero, o navio A está no ponto (0,0) e o B está 30km acima, ou seja, no ponto (0,30).

O navio A navega 15km/h ao norte, ou seja, para cima.    ----> Ele se mantém em cima do eixo y, e o valor de y sobe 15 a cada hora.

O navio B navega 10km/h ao oeste, ou seja, para a esquerda.   ---> Ele se mantém em cima do eixo x, e seu valor de x decresce 10 a cada hora.

Portanto, uma hora após o instante inicial, nós teríamos o ponto A nas coordenadas (0,15) e o B nas coordenadas (-10,0).

Agora temos dois pontos da trajetória de cada navio:

A(t0):   (0,0) e (0,15)

B(t1):   (0,30) e (-10,30)

Com tais pontos, podemos através da fórmula de distância entre pontos criar uma equação para achar um t em que a distancia D seja mínima:

Lembrando que a distância entre dois pontos é dada por:

\(D= \sqrt {(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2}\)

Temos:

\(D_{t0} = \sqrt {(30-0)^2+(-0-0)^2}\)

\(D_{t1} = \sqrt {(30-15)^2+(-10-0)^2}\)

Tentando traduzir isso para uma equação em função do tempo, temos:

\(D(t) = \sqrt {(30-15t)^2+(-10t)^2}\)

\(D(t) = \sqrt {325t^2-900t+900}\)

Ou seja, se chamarmos a função contida no argumento de tal raiz de y(t), o seu valor mínimo refletirá no valor mínimo da função D(t) também, já que a raíz mínima será encontrada no valor mínimo do argumento. Portanto, y(t) ficaria assim:

\(y(t) = 325t^2-900t+900\)

Agora, para encontrarmos o valor mínimo de y(t), precisamos igualar a sua derivada a zero:

\(y'(t) =650t-900\)

\(650t-900=0\)

\(t = {900\over650}\)

\(t = 1,3846\) horas

Como o t₀ vale 13 horas, o instante I em que os navios mais se aproximam se dá em:

\(I = 13 horas + 1,38 horas\)

Lembrando que 1h possui 60 minutos, temos:

\(I = 13 horas + (1,38(60)) minutos = 13h + (1h\quad e\quad23min)\)

\(I = 14:23h\)

ou 2:23 da tarde.