Cálculo Diferencial II

Question

Uma das aplicações mais usuais para integrais múltiplas em Engenharia é o cálculo da massa de objetos, uma vez que as densidades costumam ser funções de várias variáveis (as quais, em geral, são dimensões espaciais).
Precisa-se a massa de uma lâmina quadrada cujos lados são unitários. Suponha que a densidade desta lâmina seja dada pela função abaixo:

Elaborado pelo Professor, 2019

Estão corretas:

Alternativas

Alternativa 1:

Apenas I, II e III.

Alternativa 2:

Apenas I, II e IV.

Alternativa 3:

Apenas II e III.

Alternativa 4:

Apenas I e IV.

Alternativa 5:

Apenas I e III.

Marcia Rodrigues · Answer

alternativa 1 e 4

RD Resoluções · Answer

Nesse exercício vamos estudar densidade de massa.

Para obtermos a massa basta-nos integrar a densidade na região estudada:

$$m=\int\int\limits_{A}\delta(x,y)\,dA$$

I – Se a lâmina está no primeiro quadrante com os lados sobre os eixos, seus limites são 0 e 1 para ambas as coordenadas, de forma que podemos calcular a massa por:

$$m=\int_0^1\int_0^1x+y+2\,dy\,dx$$

Logo a afirmação I é verdadeira.

II – É dito que se a lâmina estiver com o centro na origem a integral é dada por:

$$m=\int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}x+y+2\,dy\,dx$$

Mas isso não é necessariamente verdade visto que nada se fala sobre os lados estarem paralelos aos eixos, de forma que a afirmação II é falsa.

III – Apesar de a afirmação II ser falsa, é uma posição possível para a lâmina e poderia ser calculada. Como a massa de um objeto não varia, o resultado seria o mesmo, logo a afirmação III é verdadeira.

IV – Como explicado na afirmação III, os resultados são iguais, logo a afirmação IV é falsa.

Como as afirmações I e III são as verdadeiras, a Alternativa 5 é a correta.

Andre Smaira · Answer