Calcule a soma dos trinta primeiros termos de uma PA (4,10,...).

Nesse exercício vamos estudar progressão aritmética.

São dados os dois primeiros termos de uma PA:

$$a_1=4$$

$$a_2=10$$

Sabemos que a razão $r$ de uma PA é dada pela diferença entre termos consecutivos:

$$r=a_{k+1}-a_k=a_2-a_1=10-4=6$$

Para a somatória de $n$ primeiros termos de uma PA, temos:

$$S_n=\dfrac{a_1+a_n}2\cdot n$$

Como não temos o valor de $a_n$, vamos reescrevê-lo usando o termo geral da PA:

$$a_n = a_1+(n-1)r$$

Substituindo na expressão da soma, temos:

$$S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}2\cdot n$$

$$S_n=\left(a_1+\dfrac{ (n-1)r}2\right)\cdot n$$

Substituindo nossos dados, temos:

$$S_{30}=\left(4+\dfrac{ (30-1)\cdot 6}2\right)\cdot 30$$

$$S_{30}=\left(4+29\cdot 3\right)\cdot 30$$

$$S_{30}=\left(4+87\right)\cdot 30$$

$$S_{30}=91\cdot 30$$

Finalmente:

$$\boxed{S_{30}=2730}$$

Nesse exercício vamos estudar progressão aritmética.

São dados os dois primeiros termos de uma PA:

$$a_1=4$$

$$a_2=10$$

Sabemos que a razão $r$ de uma PA é dada pela diferença entre termos consecutivos:

$$r=a_{k+1}-a_k=a_2-a_1=10-4=6$$

Para a somatória de $n$ primeiros termos de uma PA, temos:

$$S_n=\dfrac{a_1+a_n}2\cdot n$$

Como não temos o valor de $a_n$, vamos reescrevê-lo usando o termo geral da PA:

$$a_n = a_1+(n-1)r$$

Substituindo na expressão da soma, temos:

$$S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}2\cdot n$$

$$S_n=\left(a_1+\dfrac{ (n-1)r}2\right)\cdot n$$

Substituindo nossos dados, temos:

$$S_{30}=\left(4+\dfrac{ (30-1)\cdot 6}2\right)\cdot 30$$

$$S_{30}=\left(4+29\cdot 3\right)\cdot 30$$

$$S_{30}=\left(4+87\right)\cdot 30$$

$$S_{30}=91\cdot 30$$

Finalmente:

$$\boxed{S_{30}=2730}$$