Calcule o valor de a) Sen 105° B) sen 15º C) cos 75º

A) Sen 105° = sen (60 + 45)
= sen60.cos45 + sen45.cos60
= √3/2 . √2/2 + √2/2 . 1/2
= (√6 + √2)/4

B)  sen 15º = sen (60 - 45)
= sen60.cos45 - sen45.cos60
= √3/2 . √2/2 - √2/2 . 1/2
= (√6 - √2)/4

C) cos 75º = cos (45 + 30)
= cos45 . cos30 - sen45 . sen30
= √2/2 . √3/2 - √2/2 . 1/2
= (√6 - √2) / 4

---

Vamos recordar a tabela de valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos mais importantes: \(30°\), \(45°\) e \(60°\).

Ângulos notáveis

---

Vamos relembrar também as fórmulas de soma de arcos.

\[{\mathop{\rm sen}\nolimits} \left( {a + b} \right) = {\mathop{\rm sen}\nolimits} a \cdot \cos b + {\mathop{\rm sen}\nolimits} b \cdot \cos a\]

\[\cos \left( {a + b} \right) = \cos a \cdot \cos b - {\mathop{\rm sen}\nolimits} a \cdot {\mathop{\rm sen}\nolimits} b\]

\[{\mathop{\rm tg}\nolimits} \left( {a + b} \right) = {{{\mathop{\rm tg}\nolimits} a + {\mathop{\rm tg}\nolimits} b} \over {1 - {\mathop{\rm tg}\nolimits} a \cdot {\mathop{\rm tg}\nolimits} b}}\]

---

a) \({\mathop{\rm sen}\nolimits} 105^\circ\)

O ângulo \(105 ^\circ\) pode ser reescrito como a soma dos ângulos \(45°\) e \(60°\). Assim, temos que:

\[\eqalign{ & {\mathop{\rm sen}\nolimits} 105^\circ = {\mathop{\rm sen}\nolimits} \left( {45^\circ + 60^\circ } \right) \cr & {\mathop{\rm sen}\nolimits} 105^\circ = {\mathop{\rm sen}\nolimits} 45^\circ \cdot \cos 60^\circ + {\mathop{\rm sen}\nolimits} 60^\circ \cdot \cos 45^\circ \cr & {\mathop{\rm sen}\nolimits} 105^\circ = {{\sqrt 2 } \over 2} \cdot {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2} \cdot {{\sqrt 2 } \over 2} = {{\sqrt 2 } \over 4} + {{\sqrt 6 } \over 4} }\]

\[\boxed{{\mathop{\rm sen}\nolimits} 105^\circ = {{\sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 4}}\]

-----

b) \({\mathop{\rm sen}\nolimits} 15^\circ\)

\[\eqalign{ & {\mathop{\rm sen}\nolimits} 15^\circ = {\mathop{\rm sen}\nolimits} \left( {45^\circ - 30^\circ } \right) \cr & {\mathop{\rm sen}\nolimits} 15^\circ = {\mathop{\rm sen}\nolimits} 45^\circ \cdot \cos 30^\circ - {\mathop{\rm sen}\nolimits} 30^\circ \cdot \cos 45^\circ \cr & {\mathop{\rm sen}\nolimits} 15^\circ = {{\sqrt 2 } \over 2} \cdot {{\sqrt 3 } \over 2} - {1 \over 2} \cdot {{\sqrt 2 } \over 2} = {{\sqrt 6 } \over 4} - {{\sqrt 2 } \over 4} }\]

\[\boxed{{\mathop{\rm sen}\nolimits} 15^\circ = {{\sqrt 6 - \sqrt 2 } \over 4}}\]

----

c) \(\cos 75^\circ\)

\[\eqalign{ & \cos 75^\circ = \cos \left( {45^\circ + 30^\circ } \right) \cr & \cos 75^\circ = \cos 45^\circ \cdot \cos 30^\circ - {\mathop{\rm sen}\nolimits} 45^\circ \cdot {\mathop{\rm sen}\nolimits} 30^\circ \cr & \cos 75^\circ = {{\sqrt 2 } \over 2} \cdot {{\sqrt 3 } \over 2} - {{\sqrt 2 } \over 2} \cdot {1 \over 2} = {{\sqrt 6 } \over 4} - {{\sqrt 2 } \over 4} }\]

\[\boxed{\cos 75^\circ = {{\sqrt 6 - \sqrt 2 } \over 4}}\]