joãozinho inventou uma operação matematica com numeros inteiros , para que a qual ele usa o sinal ∩ (nao usem o verdadeiro sentido desse sinal é só parao exemplo). ela funciona assim a∩b= (a+1)(b-1). por exemplo 3∩5- (3+1(5-1)=16.se a e b sao inteiros positivos tais que a∩b=24 e b∩a=30, quanto vale a+b? a)11 b)12 c)15 d)16 e)18
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Considere a primeira equação:
\[a \cap b = 24\]
Desenvolvendo a expressão matemática da operação \(\cap\), obtemos:
\[\left( {a + 1} \right)\left( {b - 1} \right) = 24\]
\[ab - a + b - 1 = 24\]
Logo:
\[\eqalignno{ ab - a +b &= 25 &(1) }\]
Considere agora a segunda equação:
\[b \cap a = 30\]
Repetindo o processo para esta equação, temos:
\[\left( {b + 1} \right)\left( {a - 1} \right) = 30\]
\[ab - b + a - 1 = 30\]
Logo:
\[\eqalignno{ ab + a - b &= 31 &(2) }\]
Somando-se as equações (1) e (2), obtemos:
\[2ab = 56\]
Portanto:
\[\eqalignno{ ab &= 28 &(3) }\]
Substituindo (3) em (2), obtemos:
\[\eqalign{ 28 + a - b &= 31 &\cr a - b &= 3 &}\]
Donde:
\[\eqalignno{ b &= a-3 &(4) }\]
Substituindo (4) em (3), obtemos:
\[\eqalign{ a(a - 3) &= 28 &\cr {a^2} - 3a - 28 &= 0 &}\]
Podemos obter o valor de a usando a fórmula resolutiva das equações de 2º grau. A solução positiva para a equação acima é dada por:
\[a = {{3 + \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} - 4 \times 1 \times \left( { - 28} \right)} } \over 2} = {{3 + \sqrt {121} } \over 2} = 7\]
Substituindo o valor de a em (3), temos:
\[\eqalign{ 7b &= 28 &\cr b &= 4 &}\]
Assim, conclui-se que o valor de \(a + b\) é:
\[\boxed{a + b = 7 + 4 = 11}\]
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Portanto, a resposta correta para esta questão é a alternativa A.
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