Determine a intensidade do campo elétrico em N/C no ponto (3i - 2j + 4k) m

V= 2yz^2+2xz^2+4xy

V=(2.(-2).4^2)+(2.3.4^2)+(4.3.-2.4)

V= 64i-96j+24k

Raiz de 22.528 = 150

\[\vec E\left( {\vec r} \right) = - \vec \nabla V\left( {\vec r} \right)\]

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Na fórmula, \({\vec r}\) é o vetor posição dado por \(\vec r = \left( {x\hat i + y\hat j + z\hat k} \right)\). Do enunciado, temos que \(V\left( {\vec r} \right) = 2xy{z^2}\). Substituindo esse dado na fórmula apresentada e calculando o gradiente, encontramos:

\[\eqalign{ \vec E\left( {\vec r} \right) &= - \vec \nabla \left( {2xy{z^2}} \right)\cr&= \left( { - \dfrac{{\partial \left( {2xy{z^2}} \right)}}{{\partial x}}, - \dfrac{{\partial \left( {2xy{z^2}} \right)}}{{\partial y}}, - \dfrac{{\partial \left( {2xy{z^2}} \right)}}{{\partial z}}} \right)\cr&= \left( { - y{z^2}, - x{z^2}, - 2xyz} \right) }\]

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Assim, no ponto representado por \(\vec r = \left( {3\hat i - 2\hat j + 4\hat k} \right) \text{m}\), o vetor campo elétrico é dado por:

\[\eqalign{ \vec E\left( {3\hat i - 2\hat j + 4\hat k} \right) &= \left( { - \left( { - 2} \right) \cdot {4^2}, - 3 \cdot {4^2}, - 2 \cdot 3 \cdot \left( { - 2} \right) \cdot 4} \right)\cr&= \left( {32, - 48,48} \right){\text{ N/C}} }\]

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Por fim, a intensidade do campo elétrico no ponto específico é dada pelo módulo do vetor \(\vec E\left( {3\hat i - 2\hat j + 4\hat k} \right)\). Logo, temos para o módulo:

\[\eqalign{ \left| {\vec E\left( {3\hat i - 2\hat j + 4\hat k} \right)} \right| = \sqrt {{{32}^2} + {{\left( { - 48} \right)}^2} + {{48}^2}} \cr \cong 75,05{\text{ N/C}} }\]

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Portanto, a intensidade do campo elétrico no ponto especificado é de, aproximadamente, \(\boxed{75,05{\text{ N/C}}}\).