Trabalho e Energia

Um carregador empurra uma mala de 20,0 kg para cima de uma rampa com inclinação de 25,0◦ acima da horizontal com uma força F de módulo igual a 140 N que atua paralelamente a rampa. O coeficiente de atrito cinético é 0,3. Se a mala se desloca 3,8 m ao longo da rampa, calcule:

a) O trabalho realizado sobre a mala pela força F.

b) O trabalho realizado sobre a mala pela força gravitacional.

c) O trabalho realizado sobre a mala pela força normal.

d) O trabalho realizado sobre a mala pela força de atrito.

e) O trabalho total realizado sobre a mala.

f) Se a velocidade da mala é nula na parte inferior da rampa, qual é sua velocidade depois que ela se desloca 3,8 m ao longo da rampa?

Física

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UFLA

Rayane Soares

02/05/2019

💡 5 Respostas

Joao Pedro Silva

27.05.2019

Andre Smaira

30.09.2019

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos adquiridos para calcular o trabalho realizado por forças atuantes sobre uma mala. Para isso, tem-se que a equação de trabalho

\Tau

é:

$\Tau = Fd \cos \theta$

Onde $$F$$ é a força, $$d$$ é o deslocamento e $\theta$ é o ângulo entre o sentido da força e o sentido do deslocamento realizado.

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Primeiro, pede-se o trabalho que a força $F=140 \text{ N}$ realiza sobre a mala.

A força $$F$$ possui mesma direção e mesmo sentido em relação ao deslocamento da mala. Portanto, o valor de $\theta_F$ é $0^{\circ}$ .

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Substituindo $F=140\text{ N}$ , $d=3,8\text{ m}$ e $\theta_F=0^{\circ}$ , o valor do trabalho $\Tau_F$ é:

$\begin{align} \Tau_F &= Fd \cos \theta_F \\ &= 140 \cdot 3,8 \cos 0^{\circ}\\ &= 532 \text{ J} \end{align}$

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Concluindo, o trabalho que a força $F=140 \text{ N}$ realiza sobre a mala é igual a $\boxed{\Tau_F = 532 \text{ J}}$ .

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Agora, pede-se o trabalho que a força gravitacional realiza sobre a mala.

Sendo $m=20\text{ kg}$ a massa da mala e sendo $g=10\text{ m/s}^2$ , a força-peso $$P$$ correspondente é:

$\begin{align} P&=mg \\ &=20 \cdot 10 \\ &=200\text{ N} \end{align}$

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O sentido da força-peso é de cima para baixo. Portanto, o ângulo entre o sentido de $$P$$ e o sentido do deslocamento realizado é:

$\begin{align} \theta_P&=90^{\circ}+25^{\circ} \\ &=115^{\circ} \end{align}$

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Portanto, substituindo os termos, o valor do trabalho $\Tau_P$ é:

$\begin{align} \Tau_P &= Fd \cos \theta_P \\ &= 200 \cdot 3,8 \cos 115^{\circ} \\ &= -321,19 \text{ J} \end{align}$

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Concluindo, o trabalho que a força gravitacional realiza sobre a mala é igual a $\boxed{\Tau_P = -321,19 \text{ J}}$ .

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Agora, pede-se o trabalho que a força normal realiza sobre a mala.

A força normal $$F_N$$ consiste na força que a superfície da rampa realiza sobre a mala. Portanto, o ângulo $\theta_N$ entre o sentido de $$P$$ e o sentido do deslocamento realizado é igual a $90^{\circ}$ .

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Como $\cos90^{\circ}=0$ , o valor de $\Tau_N$ é:

$\Tau_N=0 \text{ J}$

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Concluindo, o trabalho que a força normal realiza sobre a mala é igual a $\boxed{\Tau_N = 0 \text{ J}}$ .

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Agora, pede-se o trabalho que a força de atrito realiza sobre a mala.

Sendo $\mu_c=0,3$ o coeficiente de atrito cinético da rampa, o valor da força de atrito $F_{atr}$ é:

$\begin{align} F_{atr} &= \mu_c \cdot F_N \\ &= \mu_c \cdot P \cos25^{\circ} \\ &= \mu_c \cdot mg \cos25^{\circ} \\ &= 0,3 \cdot 20 \cdot 10 \cos25^{\circ} \\ &= 54,38 \text{ N} \end{align}$

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O sentido da força de atrito é contrário ao sentido do deslocamento da mala. Portanto, o valor de $\theta_{atr}$ é igual a $180^{\circ}$ .

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Portanto, substituindo os termos, o valor do trabalho $\Tau_{atr}$ é:

$\begin{align} \Tau_{atr} &= F_{atr}d \cos \theta_{atr} \\ &= 54,38 \cdot 3,8 \cos 180^{\circ} \\ &= -206,64 \text{ J} \end{align}$

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Concluindo, o trabalho que a força de atrito realiza sobre a mala é igual a $\boxed{\Tau_{atr} = -206,64 \text{ J}}$ .

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Agora, pede-se o trabalho total realizado sobre a mala. Para isso, basta somar algebricamente todos os trabalhos calculados anteriormente.

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Com base nos valores de $\Tau$ calculados anteriormente, o trabalho total $\Tau_{total}$ é:

$\begin{align} \Tau_{total} &= \Tau_{F}+\Tau_{P}+\Tau_{N}+\Tau_{atr} \\ &= 532+(-321,19)+0+(-206,64) \\ &= 4,17 \text{ J} \end{align}$

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Concluindo, o total de trabalho realizado sobre a mala é igual a $\boxed{\Tau_{total} = 4,17 \text{ J}}$ .

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Por último, será determinada a velocidade da mala após se deslocar $d=3,8\text{ m}$ na rampa.

Pela Segunda Lei de Newton, tem-se a seguinte equação:

$ma=\sum_{i=1}^n F_i$

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Substituindo os termos conhecidos, o valor da aceleração $$a$$ da mala é:

$\begin{align} a &={1 \over m}\sum_{i=1}^n F_i \\ &={1 \over m}(F-P\sin25^{\circ}-F_{atr}) \\ &={1 \over 20}(140-200\sin25^{\circ}-54,38) \\ &={1 \over 20}(1,096) \\ &= 0,0548 \text{ m/s}^2 \end{align}$

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Tem-se que a velocidade inicial da mala é $v_0=0\text{ m/s}$ na parte inferior da rampa. Portanto, após o deslocamento de $d=3,8\text{ m}$ ao longo da rampa, a velocidade final correspondente é:

$\begin{align} v_f^2 &=v_0^2+2ad \\ v_f &=\sqrt{v_0^2+2ad} \\ &=\sqrt{0^2+2\cdot 0,0548\cdot 3,8} \\ &=\sqrt{0,417} \\ &= 0,645 \text{ m/s} \end{align}$

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Concluindo, após o deslocamento de $d=3,8\text{ m}$ ao longo da rampa, a velocidade da mala é igual a $\boxed{v_f=0,645 \text{ m/s}}$ .