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Trabalho e Energia

Um carregador empurra uma mala de 20,0 kg para cima de uma rampa com inclinação de 25,0◦ acima da horizontal com uma força F de módulo igual a 140 N que atua paralelamente a rampa. O coeficiente de atrito cinético é 0,3. Se a mala se desloca 3,8 m ao longo da rampa, calcule:

a) O trabalho realizado sobre a mala pela força F.

b) O trabalho realizado sobre a mala pela força gravitacional.

c) O trabalho realizado sobre a mala pela força normal.

d) O trabalho realizado sobre a mala pela força de atrito.

e) O trabalho total realizado sobre a mala.

f) Se a velocidade da mala é nula na parte inferior da rampa, qual é sua velocidade depois que ela se desloca 3,8 m ao longo da rampa?

Física

UFLA


5 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos adquiridos para calcular o trabalho realizado por forças atuantes sobre uma mala. Para isso, tem-se que a equação de trabalho \(\Tau\) é:


\[\Tau = Fd \cos \theta\]

Onde \(F\) é a força, \(d\) é o deslocamento e \(\theta\) é o ângulo entre o sentido da força e o sentido do deslocamento realizado.

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a)

Primeiro, pede-se o trabalho que a força \(F=140 \text{ N}\) realiza sobre a mala.

A força \(F\) possui mesma direção e mesmo sentido em relação ao deslocamento da mala. Portanto, o valor de \(\theta_F\) é \(0^{\circ}\).

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Substituindo \(F=140\text{ N}\), \(d=3,8\text{ m}\) e \(\theta_F=0^{\circ}\), o valor do trabalho \(\Tau_F\) é:


\[\begin{align} \Tau_F &= Fd \cos \theta_F \\ &= 140 \cdot 3,8 \cos 0^{\circ}\\ &= 532 \text{ J} \end{align}\]

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Concluindo, o trabalho que a força \(F=140 \text{ N}\) realiza sobre a mala é igual a \(\boxed{\Tau_F = 532 \text{ J}}\).

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b)

Agora, pede-se o trabalho que a força gravitacional realiza sobre a mala.

Sendo \(m=20\text{ kg}\) a massa da mala e sendo \(g=10\text{ m/s}^2\), a força-peso \(P\) correspondente é:


\[\begin{align} P&=mg \\ &=20 \cdot 10 \\ &=200\text{ N} \end{align}\]

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O sentido da força-peso é de cima para baixo. Portanto, o ângulo entre o sentido de \(P\) e o sentido do deslocamento realizado é:


\[\begin{align} \theta_P&=90^{\circ}+25^{\circ} \\ &=115^{\circ} \end{align}\]

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Portanto, substituindo os termos, o valor do trabalho \(\Tau_P\) é:


\[\begin{align} \Tau_P &= Fd \cos \theta_P \\ &= 200 \cdot 3,8 \cos 115^{\circ} \\ &= -321,19 \text{ J} \end{align}\]

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Concluindo, o trabalho que a força gravitacional realiza sobre a mala é igual a \(\boxed{\Tau_P = -321,19 \text{ J}}\).

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c)

Agora, pede-se o trabalho que a força normal realiza sobre a mala.

A força normal \(F_N\) consiste na força que a superfície da rampa realiza sobre a mala. Portanto, o ângulo \(\theta_N\) entre o sentido de \(P\) e o sentido do deslocamento realizado é igual a \(90^{\circ}\).

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Como \(\cos90^{\circ}=0\), o valor de \(\Tau_N\) é:


\[\Tau_N=0 \text{ J}\]

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Concluindo, o trabalho que a força normal realiza sobre a mala é igual a \(\boxed{\Tau_N = 0 \text{ J}}\).

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d)

Agora, pede-se o trabalho que a força de atrito realiza sobre a mala.

Sendo \(\mu_c=0,3\) o coeficiente de atrito cinético da rampa, o valor da força de atrito \(F_{atr}\) é:


\[\begin{align} F_{atr} &= \mu_c \cdot F_N \\ &= \mu_c \cdot P \cos25^{\circ} \\ &= \mu_c \cdot mg \cos25^{\circ} \\ &= 0,3 \cdot 20 \cdot 10 \cos25^{\circ} \\ &= 54,38 \text{ N} \end{align}\]

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O sentido da força de atrito é contrário ao sentido do deslocamento da mala. Portanto, o valor de \(\theta_{atr}\) é igual a \(180^{\circ}\).

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Portanto, substituindo os termos, o valor do trabalho \(\Tau_{atr}\) é:


\[\begin{align} \Tau_{atr} &= F_{atr}d \cos \theta_{atr} \\ &= 54,38 \cdot 3,8 \cos 180^{\circ} \\ &= -206,64 \text{ J} \end{align}\]

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Concluindo, o trabalho que a força de atrito realiza sobre a mala é igual a \(\boxed{\Tau_{atr} = -206,64 \text{ J}}\).

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e)

Agora, pede-se o trabalho total realizado sobre a mala. Para isso, basta somar algebricamente todos os trabalhos calculados anteriormente.

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Com base nos valores de \(\Tau\) calculados anteriormente, o trabalho total \(\Tau_{total}\) é:


\[\begin{align} \Tau_{total} &= \Tau_{F}+\Tau_{P}+\Tau_{N}+\Tau_{atr} \\ &= 532+(-321,19)+0+(-206,64) \\ &= 4,17 \text{ J} \end{align}\]

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Concluindo, o total de trabalho realizado sobre a mala é igual a \(\boxed{\Tau_{total} = 4,17 \text{ J}}\).

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f)

Por último, será determinada a velocidade da mala após se deslocar \(d=3,8\text{ m}\) na rampa.

Pela Segunda Lei de Newton, tem-se a seguinte equação:


\[ma=\sum_{i=1}^n F_i\]

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Substituindo os termos conhecidos, o valor da aceleração \(a\) da mala é:


\[\begin{align} a &={1 \over m}\sum_{i=1}^n F_i \\ &={1 \over m}(F-P\sin25^{\circ}-F_{atr}) \\ &={1 \over 20}(140-200\sin25^{\circ}-54,38) \\ &={1 \over 20}(1,096) \\ &= 0,0548 \text{ m/s}^2 \end{align}\]

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Tem-se que a velocidade inicial da mala é \(v_0=0\text{ m/s}\) na parte inferior da rampa. Portanto, após o deslocamento de \(d=3,8\text{ m}\) ao longo da rampa, a velocidade final correspondente é:


\[\begin{align} v_f^2 &=v_0^2+2ad \\ v_f &=\sqrt{v_0^2+2ad} \\ &=\sqrt{0^2+2\cdot 0,0548\cdot 3,8} \\ &=\sqrt{0,417} \\ &= 0,645 \text{ m/s} \end{align}\]

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Concluindo, após o deslocamento de \(d=3,8\text{ m}\) ao longo da rampa, a velocidade da mala é igual a \(\boxed{v_f=0,645 \text{ m/s}}\).

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos adquiridos para calcular o trabalho realizado por forças atuantes sobre uma mala. Para isso, tem-se que a equação de trabalho \(\Tau\) é:


\[\Tau = Fd \cos \theta\]

Onde \(F\) é a força, \(d\) é o deslocamento e \(\theta\) é o ângulo entre o sentido da força e o sentido do deslocamento realizado.

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a)

Primeiro, pede-se o trabalho que a força \(F=140 \text{ N}\) realiza sobre a mala.

A força \(F\) possui mesma direção e mesmo sentido em relação ao deslocamento da mala. Portanto, o valor de \(\theta_F\) é \(0^{\circ}\).

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Substituindo \(F=140\text{ N}\), \(d=3,8\text{ m}\) e \(\theta_F=0^{\circ}\), o valor do trabalho \(\Tau_F\) é:


\[\begin{align} \Tau_F &= Fd \cos \theta_F \\ &= 140 \cdot 3,8 \cos 0^{\circ}\\ &= 532 \text{ J} \end{align}\]

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Concluindo, o trabalho que a força \(F=140 \text{ N}\) realiza sobre a mala é igual a \(\boxed{\Tau_F = 532 \text{ J}}\).

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b)

Agora, pede-se o trabalho que a força gravitacional realiza sobre a mala.

Sendo \(m=20\text{ kg}\) a massa da mala e sendo \(g=10\text{ m/s}^2\), a força-peso \(P\) correspondente é:


\[\begin{align} P&=mg \\ &=20 \cdot 10 \\ &=200\text{ N} \end{align}\]

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O sentido da força-peso é de cima para baixo. Portanto, o ângulo entre o sentido de \(P\) e o sentido do deslocamento realizado é:


\[\begin{align} \theta_P&=90^{\circ}+25^{\circ} \\ &=115^{\circ} \end{align}\]

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Portanto, substituindo os termos, o valor do trabalho \(\Tau_P\) é:


\[\begin{align} \Tau_P &= Fd \cos \theta_P \\ &= 200 \cdot 3,8 \cos 115^{\circ} \\ &= -321,19 \text{ J} \end{align}\]

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Concluindo, o trabalho que a força gravitacional realiza sobre a mala é igual a \(\boxed{\Tau_P = -321,19 \text{ J}}\).

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c)

Agora, pede-se o trabalho que a força normal realiza sobre a mala.

A força normal \(F_N\) consiste na força que a superfície da rampa realiza sobre a mala. Portanto, o ângulo \(\theta_N\) entre o sentido de \(P\) e o sentido do deslocamento realizado é igual a \(90^{\circ}\).

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Como \(\cos90^{\circ}=0\), o valor de \(\Tau_N\) é:


\[\Tau_N=0 \text{ J}\]

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Concluindo, o trabalho que a força normal realiza sobre a mala é igual a \(\boxed{\Tau_N = 0 \text{ J}}\).

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d)

Agora, pede-se o trabalho que a força de atrito realiza sobre a mala.

Sendo \(\mu_c=0,3\) o coeficiente de atrito cinético da rampa, o valor da força de atrito \(F_{atr}\) é:


\[\begin{align} F_{atr} &= \mu_c \cdot F_N \\ &= \mu_c \cdot P \cos25^{\circ} \\ &= \mu_c \cdot mg \cos25^{\circ} \\ &= 0,3 \cdot 20 \cdot 10 \cos25^{\circ} \\ &= 54,38 \text{ N} \end{align}\]

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O sentido da força de atrito é contrário ao sentido do deslocamento da mala. Portanto, o valor de \(\theta_{atr}\) é igual a \(180^{\circ}\).

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Portanto, substituindo os termos, o valor do trabalho \(\Tau_{atr}\) é:


\[\begin{align} \Tau_{atr} &= F_{atr}d \cos \theta_{atr} \\ &= 54,38 \cdot 3,8 \cos 180^{\circ} \\ &= -206,64 \text{ J} \end{align}\]

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Concluindo, o trabalho que a força de atrito realiza sobre a mala é igual a \(\boxed{\Tau_{atr} = -206,64 \text{ J}}\).

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e)

Agora, pede-se o trabalho total realizado sobre a mala. Para isso, basta somar algebricamente todos os trabalhos calculados anteriormente.

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Com base nos valores de \(\Tau\) calculados anteriormente, o trabalho total \(\Tau_{total}\) é:


\[\begin{align} \Tau_{total} &= \Tau_{F}+\Tau_{P}+\Tau_{N}+\Tau_{atr} \\ &= 532+(-321,19)+0+(-206,64) \\ &= 4,17 \text{ J} \end{align}\]

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Concluindo, o total de trabalho realizado sobre a mala é igual a \(\boxed{\Tau_{total} = 4,17 \text{ J}}\).

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f)

Por último, será determinada a velocidade da mala após se deslocar \(d=3,8\text{ m}\) na rampa.

Pela Segunda Lei de Newton, tem-se a seguinte equação:


\[ma=\sum_{i=1}^n F_i\]

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Substituindo os termos conhecidos, o valor da aceleração \(a\) da mala é:


\[\begin{align} a &={1 \over m}\sum_{i=1}^n F_i \\ &={1 \over m}(F-P\sin25^{\circ}-F_{atr}) \\ &={1 \over 20}(140-200\sin25^{\circ}-54,38) \\ &={1 \over 20}(1,096) \\ &= 0,0548 \text{ m/s}^2 \end{align}\]

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Tem-se que a velocidade inicial da mala é \(v_0=0\text{ m/s}\) na parte inferior da rampa. Portanto, após o deslocamento de \(d=3,8\text{ m}\) ao longo da rampa, a velocidade final correspondente é:


\[\begin{align} v_f^2 &=v_0^2+2ad \\ v_f &=\sqrt{v_0^2+2ad} \\ &=\sqrt{0^2+2\cdot 0,0548\cdot 3,8} \\ &=\sqrt{0,417} \\ &= 0,645 \text{ m/s} \end{align}\]

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Concluindo, após o deslocamento de \(d=3,8\text{ m}\) ao longo da rampa, a velocidade da mala é igual a \(\boxed{v_f=0,645 \text{ m/s}}\).

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