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Aceleração escalar?

Física

PUC-RIO


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Há mais de um mês

Resolução

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Para a resolução desta questão é necessário empregar conceitos de cinemática, como a determinação da equação de movimento dos corpos envolvidos, velocidade constante e aceleração.

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O problema envolve o movimento de dois corpos: o primeiro atleta que parte do repouso com aceleração constante de 0,5 m/s2 e o segundo atleta que parte do repouso com aceleração de 0,72 m/s2, porém com atraso de 2 s. É necessário determinar a equação do movimento de ambos os corpos, que é dada pela seguinte expressão geral em função do tempo:


\[s\left( t \right) = {a \over 2} \cdot {t^2} + {v_0} \cdot t + {s_0}\]

Onde:

  • s: é a distância percorrida pelo corpo em relação ao espaço inicial (s0) em função do tempo (t) decorrido;
  • a: é a aceleração que o corpo apresenta;
  • v0: é a velocidade do corpo no instante inicial.

----

No caso, a equação de movimento do primeiro atleta, que está 2 segundos adiantado, é a seguinte:


\[\eqalign{ {s_1}\left( t \right) &= \dfrac{{0,5}}{2} \cdot {\left( {t + 2} \right)^2} + 0 \cdot \left( {t + 2} \right) + 0\quad \to\cr{s_1}\left( t \right) &= 0,25 \cdot {t^2} + t + 1 }\]

Já o segundo atleta, possui a seguinte equação de movimento:


\[\eqalign{ {s_2}\left( t \right) &= \dfrac{{0,72}}{2} \cdot {t^2} + 0 \cdot t + 0\quad \to\cr{s_2}\left( t \right) &= 0,36 \cdot {t^2} }\]

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Para se determinar o tempo gasto pelo segundo atleta para alcançar o primeiro, é necessário igualar ambas equações de movimento, uma vez que, no instante em que ocorre o alcance, ambos os corpos se encontram no mesmo lugar do espaço, logo:


\[{s_{1}}\left( t \right) = {s_{2}}\left( t \right)\quad \to\]


\[0,25 \cdot {t^2} + t + 1 = 0,36 \cdot {t^2}\]


\[-0,11 \cdot {t^2} + t + 1= 0\quad \to\]


\[\left\{ \begin{gathered} {t_1} = -0,91\;s \\ \boxed{{t_2} = 10\;s} \\ \end{gathered} \right.% MathType!End!2!1!\]

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Portanto, o tempo que o segundo atleta demora para alcançar o primeiro é de 10 segundos.

Resolução

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Para a resolução desta questão é necessário empregar conceitos de cinemática, como a determinação da equação de movimento dos corpos envolvidos, velocidade constante e aceleração.

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O problema envolve o movimento de dois corpos: o primeiro atleta que parte do repouso com aceleração constante de 0,5 m/s2 e o segundo atleta que parte do repouso com aceleração de 0,72 m/s2, porém com atraso de 2 s. É necessário determinar a equação do movimento de ambos os corpos, que é dada pela seguinte expressão geral em função do tempo:


\[s\left( t \right) = {a \over 2} \cdot {t^2} + {v_0} \cdot t + {s_0}\]

Onde:

  • s: é a distância percorrida pelo corpo em relação ao espaço inicial (s0) em função do tempo (t) decorrido;
  • a: é a aceleração que o corpo apresenta;
  • v0: é a velocidade do corpo no instante inicial.

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No caso, a equação de movimento do primeiro atleta, que está 2 segundos adiantado, é a seguinte:


\[\eqalign{ {s_1}\left( t \right) &= \dfrac{{0,5}}{2} \cdot {\left( {t + 2} \right)^2} + 0 \cdot \left( {t + 2} \right) + 0\quad \to\cr{s_1}\left( t \right) &= 0,25 \cdot {t^2} + t + 1 }\]

Já o segundo atleta, possui a seguinte equação de movimento:


\[\eqalign{ {s_2}\left( t \right) &= \dfrac{{0,72}}{2} \cdot {t^2} + 0 \cdot t + 0\quad \to\cr{s_2}\left( t \right) &= 0,36 \cdot {t^2} }\]

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Para se determinar o tempo gasto pelo segundo atleta para alcançar o primeiro, é necessário igualar ambas equações de movimento, uma vez que, no instante em que ocorre o alcance, ambos os corpos se encontram no mesmo lugar do espaço, logo:


\[{s_{1}}\left( t \right) = {s_{2}}\left( t \right)\quad \to\]


\[0,25 \cdot {t^2} + t + 1 = 0,36 \cdot {t^2}\]


\[-0,11 \cdot {t^2} + t + 1= 0\quad \to\]


\[\left\{ \begin{gathered} {t_1} = -0,91\;s \\ \boxed{{t_2} = 10\;s} \\ \end{gathered} \right.% MathType!End!2!1!\]

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Portanto, o tempo que o segundo atleta demora para alcançar o primeiro é de 10 segundos.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas