Do topo de um edifício, um cientista deixou cair uma bolinha de aço, a partir do repouso, com a finalidade de obter a altura desse edifício. A bolinha atingiu o solo após 3,0. Considere a origem dos espaços no topo do edifício e oriente para baixo a trajetória.Despreze a ação do ar e adote g = 10 m/s2.
a) Escreva a função horária da velocidade desse movimento;
b) Calcule a altura do edifício;
c) Calcule o módulo da velocidade da bolinha ao chegar no solo;
d) Calcule a distância percorrida pela bolinha durante o último segundo de queda.
Resolução
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Para a resolução desta questão é necessário empregar conceitos de cinemática, como a determinação da equação de movimento do objeto envolvido e conceitos de queda livre.
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O problema envolve a queda de um objeto que sofre ação da gravidade. Para que seu movimento seja descrito matematicamente, é necessário determinar sua equação do movimento, que é dada pela seguinte expressão geral em função do tempo:
\[s\left( t \right) = {a \over 2} \cdot {t^2} + {v_0} \cdot t + {s_0}\]
Onde:
- s: é a distância percorrida pelo corpo em relação ao espaço inicial (s0) em função do tempo (t) decorrido;
- a: é a aceleração que o corpo sofre, que, no caso é, o valor da aceleração da gravidade (g = 10 m/s2);
- v0: é a velocidade do corpo no instante inicial.
No caso, pode-se considerar o espaço inicial (s0) como sendo o ponto de lançamento do objeto, portanto:
\[\eqalign{ {s_0}{\text{ &= }}\;{\text{0}}\cr{{v}_0} &= 0 }\]
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Na queda, o objeto é acelerado pela gravidade, logo a equação de movimento do corpo é a seguinte:
\[\eqalign{ s\left( t \right) &= \dfrac{{10}}{2} \cdot {t^2} + 0 \cdot t + 0\quad \to\cr\boxed{s\left( t \right) &= 5 \cdot {t^2}} }\]
---
A altura do edifício é dada pelo tempo de queda de 3 s:
\[\eqalign{ s\left( 3 \right) &= 5 \cdot {\left( 3 \right)^2}\quad \to\cr\boxed{s\left( 3 \right) &= 45\;m} }\]
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A velocidade da bolinha ao atingir o solo pode ser determinada por meio do tempo de queda e a partir da seguinte relação:
\[\eqalign{ v\left( t \right) &= {v_0} + g \cdot t\quad \to\crv\left( 3 \right) &= 0 + 10 \cdot 3\quad \to\cr\boxed{v\left( 3 \right) &= 30\;m/s} }\]
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A distância percorrida no último segundo de queda corresponde à diferença entre a posição da bolinha entre 2 e 3 segundos, logo:
\[\eqalign{ \Delta s &= s\left( 3 \right) - s\left( 2 \right)\quad \to\cr\Delta s &= 5 \cdot {\left( 3 \right)^2} - 5 \cdot {\left( 2 \right)^2}\quad \to\cr\boxed{\Delta s &= 25\;m} }\]
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Portanto, a equação de movimento da bolinha é s(t) = 5t2, a altura do edifício é de 45 metros, a velocidade da bolinha no impacto é de 30 m/s e no último segundo de queda ela percorre uma distância de 25 metros.
Do topo de um edifício, um cientista deixou cair uma bolinha de aço, a partir do repouso, com a finalidade de obter a altura desse edifício. A bolinha atingiu o solo após 3,0. Considere a origem dos espaços no topo do edifício e oriente para baixo a trajetória.Despreze a ação do ar e adote g = 10 m/s2.
a) Escreva a função horária da velocidade desse movimento;
b) Calcule a altura do edifício;
c) Calcule o módulo da velocidade da bolinha ao chegar no solo;
d) Calcule a distância percorrida pela bolinha durante o último segundo de queda.
Resolução
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Para a resolução desta questão é necessário empregar conceitos de cinemática, como a determinação da equação de movimento do objeto envolvido e conceitos de queda livre.
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O problema envolve a queda de um objeto que sofre ação da gravidade. Para que seu movimento seja descrito matematicamente, é necessário determinar sua equação do movimento, que é dada pela seguinte expressão geral em função do tempo:
\[s\left( t \right) = {a \over 2} \cdot {t^2} + {v_0} \cdot t + {s_0}\]
Onde:
- s: é a distância percorrida pelo corpo em relação ao espaço inicial (s0) em função do tempo (t) decorrido;
- a: é a aceleração que o corpo sofre, que, no caso é, o valor da aceleração da gravidade (g = 10 m/s2);
- v0: é a velocidade do corpo no instante inicial.
No caso, pode-se considerar o espaço inicial (s0) como sendo o ponto de lançamento do objeto, portanto:
\[\eqalign{ {s_0}{\text{ &= }}\;{\text{0}}\cr{{v}_0} &= 0 }\]
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Na queda, o objeto é acelerado pela gravidade, logo a equação de movimento do corpo é a seguinte:
\[\eqalign{ s\left( t \right) &= \dfrac{{10}}{2} \cdot {t^2} + 0 \cdot t + 0\quad \to\cr\boxed{s\left( t \right) &= 5 \cdot {t^2}} }\]
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A altura do edifício é dada pelo tempo de queda de 3 s:
\[\eqalign{ s\left( 3 \right) &= 5 \cdot {\left( 3 \right)^2}\quad \to\cr\boxed{s\left( 3 \right) &= 45\;m} }\]
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A velocidade da bolinha ao atingir o solo pode ser determinada por meio do tempo de queda e a partir da seguinte relação:
\[\eqalign{ v\left( t \right) &= {v_0} + g \cdot t\quad \to\crv\left( 3 \right) &= 0 + 10 \cdot 3\quad \to\cr\boxed{v\left( 3 \right) &= 30\;m/s} }\]
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A distância percorrida no último segundo de queda corresponde à diferença entre a posição da bolinha entre 2 e 3 segundos, logo:
\[\eqalign{ \Delta s &= s\left( 3 \right) - s\left( 2 \right)\quad \to\cr\Delta s &= 5 \cdot {\left( 3 \right)^2} - 5 \cdot {\left( 2 \right)^2}\quad \to\cr\boxed{\Delta s &= 25\;m} }\]
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Portanto, a equação de movimento da bolinha é s(t) = 5t2, a altura do edifício é de 45 metros, a velocidade da bolinha no impacto é de 30 m/s e no último segundo de queda ela percorre uma distância de 25 metros.
