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Física

PUC-RIO


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Há mais de um mês

Um carro estava em repouso no marco zero de uma estrada retilínea, quando vê passar por ele uma moto com velocidade constante de 20 m/s. Nesse momento, o motorista imprime no carro uma aceleração constante de 1,6 m/s2, perseguindo a moto. Determine: a) O tempo que o carro gasta para alcançar a moto. b) A distância que ele percorre nesse tempo.

Resolução

---

Para a resolução desta questão é necessário empregar conceitos de cinemática, como a determinação da equação de movimento dos corpos envolvidos, velocidade constante e aceleração.

---

O problema envolve o movimento de dois corpos: a moto que possui velocidade constante de 20 m/s para todo instante, e o carro que parte do repouso com aceleração de 1,6 m/s2. É necessário determinar a equação do movimento de ambos os corpos, que é dada pela seguinte expressão geral em função do tempo:


\[s\left( t \right) = {a \over 2} \cdot {t^2} + {v_0} \cdot t + {s_0}\]

Onde:

  • s: é a distância percorrida pelo corpo em relação ao espaço inicial (s0) em função do tempo (t) decorrido;
  • a: é a aceleração que o corpo apresenta;
  • v0: é a velocidade do corpo no instante inicial.

No caso, pode-se considerar o espaço inicial (s0) como sendo o ponto em que a moto ultrapassa o carro, portanto:


\[s_0=0\]

----

No caso, a moto apresenta somente velocidade constante, portanto sua equação de movimento é a seguinte:


\[\eqalign{ {s_{moto}}\left( t \right) &= {0 \over 2} \cdot {t^2} + 20 \cdot t + 0\quad \to\cr{s_{moto}}\left( t \right) &= 20 \cdot t }\]

---

Já o carro, parte do repouso (v0 = 0) acelerando, logo, sua equação de movimento é a seguinte:


\[\eqalign{ {s_{carro}}\left( t \right) &= {{1,6} \over 2} \cdot {t^2} + 0 \cdot t + 0\quad \to\cr{s_{carro}}\left( t \right) &= 0,8 \cdot {t^2} }\]

---

Para se determinar o tempo gasto pelo carro para alcançar a moto, que é pedido no item a), é necessário igualar ambas equações de movimento, uma vez que, no instante em que ocorre o alcance, ambos os corpos se encontram no mesmo lugar do espaço, logo:


\[{s_{moto}}\left( t \right) = {s_{carro}}\left( t \right)\quad \to\]


\[20 \cdot t = 0,8 \cdot {t^2}\quad \to\]


\[0,8 \cdot {t^2} - 20 \cdot t = 0\quad \to\]


\[t \cdot \left( {0,8 \cdot t - 20} \right) = 0\quad \to\]


\[\left\{ \begin{gathered} {t_1} = 0\;s \\ \boxed{{t_2} = 25\;s} \\ \end{gathered} \right.% MathType!End!2!1!\]

---

Para determinar a distância percorrida pelo carro para alcançar a moto, que é pedido no item b), basta substituir o valor de tempo encontrado no item a) em uma das equações de movimento:


\[\eqalign{ {s_{carro}}\left( t \right) &= 0,8 \cdot {t^2}\quad \to\cr{s_{carro}}\left( {25} \right) &= 0,8 \cdot {25^2}\quad \to\cr\boxed{{s_{carro}}\left( {25} \right) &= 500\;m} }\]

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Portanto, o tempo que o carro demora para alcançar a moto é de 25 segundos e ele percorre, para isso, uma distância de 500 metros.

Um carro estava em repouso no marco zero de uma estrada retilínea, quando vê passar por ele uma moto com velocidade constante de 20 m/s. Nesse momento, o motorista imprime no carro uma aceleração constante de 1,6 m/s2, perseguindo a moto. Determine: a) O tempo que o carro gasta para alcançar a moto. b) A distância que ele percorre nesse tempo.

Resolução

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Para a resolução desta questão é necessário empregar conceitos de cinemática, como a determinação da equação de movimento dos corpos envolvidos, velocidade constante e aceleração.

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O problema envolve o movimento de dois corpos: a moto que possui velocidade constante de 20 m/s para todo instante, e o carro que parte do repouso com aceleração de 1,6 m/s2. É necessário determinar a equação do movimento de ambos os corpos, que é dada pela seguinte expressão geral em função do tempo:


\[s\left( t \right) = {a \over 2} \cdot {t^2} + {v_0} \cdot t + {s_0}\]

Onde:

  • s: é a distância percorrida pelo corpo em relação ao espaço inicial (s0) em função do tempo (t) decorrido;
  • a: é a aceleração que o corpo apresenta;
  • v0: é a velocidade do corpo no instante inicial.

No caso, pode-se considerar o espaço inicial (s0) como sendo o ponto em que a moto ultrapassa o carro, portanto:


\[s_0=0\]

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No caso, a moto apresenta somente velocidade constante, portanto sua equação de movimento é a seguinte:


\[\eqalign{ {s_{moto}}\left( t \right) &= {0 \over 2} \cdot {t^2} + 20 \cdot t + 0\quad \to\cr{s_{moto}}\left( t \right) &= 20 \cdot t }\]

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Já o carro, parte do repouso (v0 = 0) acelerando, logo, sua equação de movimento é a seguinte:


\[\eqalign{ {s_{carro}}\left( t \right) &= {{1,6} \over 2} \cdot {t^2} + 0 \cdot t + 0\quad \to\cr{s_{carro}}\left( t \right) &= 0,8 \cdot {t^2} }\]

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Para se determinar o tempo gasto pelo carro para alcançar a moto, que é pedido no item a), é necessário igualar ambas equações de movimento, uma vez que, no instante em que ocorre o alcance, ambos os corpos se encontram no mesmo lugar do espaço, logo:


\[{s_{moto}}\left( t \right) = {s_{carro}}\left( t \right)\quad \to\]


\[20 \cdot t = 0,8 \cdot {t^2}\quad \to\]


\[0,8 \cdot {t^2} - 20 \cdot t = 0\quad \to\]


\[t \cdot \left( {0,8 \cdot t - 20} \right) = 0\quad \to\]


\[\left\{ \begin{gathered} {t_1} = 0\;s \\ \boxed{{t_2} = 25\;s} \\ \end{gathered} \right.% MathType!End!2!1!\]

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Para determinar a distância percorrida pelo carro para alcançar a moto, que é pedido no item b), basta substituir o valor de tempo encontrado no item a) em uma das equações de movimento:


\[\eqalign{ {s_{carro}}\left( t \right) &= 0,8 \cdot {t^2}\quad \to\cr{s_{carro}}\left( {25} \right) &= 0,8 \cdot {25^2}\quad \to\cr\boxed{{s_{carro}}\left( {25} \right) &= 500\;m} }\]

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Portanto, o tempo que o carro demora para alcançar a moto é de 25 segundos e ele percorre, para isso, uma distância de 500 metros.

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