Calcule:a )log x 8=3 b) log x 1\/16 =2c)log² x=5d) log9 27=x

Para esta questão precisamos de conhecer a definição de logaritmo e saber suas propriedades.

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a) \(log_x{8}=3\)

Segue da definição de logaritmo que \(\log_a{b}=c\) se, e somente se, \(a^c=b\), quaisquer que sejam \(a,b,c \in \R \text{ e } a \neq 1\), assim, temos

\[\begin{aligned} x^3 &= 8 = 2^3 \Longleftrightarrow \\ x &= 2 \end{aligned}\]

Portanto, \(\boxed{x=2}\).

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b) \(\log_x{\dfrac{1}{16}}=2\)

Também segue diretamente da definição de logaritmo:

\[\begin{aligned} \log_x{\dfrac{1}{16}} &= 2 \Longleftrightarrow \\ x^2 &= \dfrac{1}{16} = \bigg(\dfrac{1}{4}\bigg)^2 \end{aligned}\]

Portanto, \(\boxed{x = \dfrac{1}{4}}\).

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c) \(\log^2{x}=5\)

Extraindo a raíz de ambos os lados, temos \(\log{x}=\pm\sqrt{5}\). Segue da definição de logaritmo que

\[\begin{aligned} x = 10^{\pm \sqrt{5}} \end{aligned}\]

Portanto, \(\boxed{x=10^{\pm\sqrt{5}}}\).

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d) \(\log_9{27}=x\)

Como \(27 = 3 \cdot 9\), podemos utilizar a propriedade multiplicativa do logaritmo que nos diz que \(\log_a{b \cdot c} = \log_a{b}+\log_a{c}\). Assim

\[\begin{aligned} x &= \log_9{27} \\ &= \log_9{3} + \log_9{9} \end{aligned}\]

Como \(\log_9{9}=1\), temos

\[\begin{aligned} x &= \log_9{3} + 1 \Longleftrightarrow \\ \log_9{3} &= x - 1 \Longleftrightarrow \\ 9^{x-1} &= 3 = 9^{\dfrac{1}{2}} \end{aligned}\]

Agora, basta encontrar \(x\):

\[\begin{aligned} x-1 &= \dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow \\ x &= \dfrac{1}{2}+1 = \dfrac{3}{2} \end{aligned}\]

Logo, \(\boxed{x = \dfrac{3}{2}}\).