Análise combinatória Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1,2,3,4,5 podem ser e um

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1. Cálculo de todas as combinações possíveis: há \(4\) dígitos a serem preenchidos por uma quantidade de \(5\) algarismos distintos. E cada algarismo pode aparecer mais de uma vez.

Primeiro, a condição do número \(13\) será desprezada. Com isso, tem-se o seguinte:

\[\underline{5p} \,\,\, \underline{5p } \,\,\, \underline{5p } \,\,\, \underline{5p }\]

Onde \(5p\) é igual a \(5\) possibilidades.

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Com isso, a quantidade de combinações \(C\) possíveis é:

\[\begin{align} C &= 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 \\ &= 5^4 \\ &= 625 \,\,\,\, (I) \end{align}\]

Ou seja, desconsiderando a condição do número \(13\), há \(625\) senhas diferentes.

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1. Cálculo das combinações com número \(13\): o número \(13\) pode aparecer na senha de Maria das seguintes formas:


\[\eqalign{&1:\underline{1} \,\,\, \underline{3 } \,\,\, \underline{5p } \,\,\, \underline{5p } \\& 2:\underline{5p} \,\,\, \underline{1 } \,\,\, \underline{3 } \,\,\, \underline{5p } \\& 3:\underline{5p} \,\,\, \underline{5p } \,\,\, \underline{1 } \,\,\, \underline{3 } \\}\]


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Com isso, a quantidade total de senhas com o número \(13\) é:


\[\begin{align} C'_{13} &= C_1+C_2+C_3 \\ &= 5 \cdot 5+5 \cdot 5+5 \cdot 5 \\ &= 25+25+25 \\ &= 75 \end{align}\]


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No entanto, deve-se ainda levar em conta a senha \(\underline{1} \,\,\, \underline{3 } \,\,\, \underline{1} \,\,\, \underline{3 }\). Essa sequência foi contabilizada \(2\) vezes: em \(C_1\) e em \(C_3\). Para contabilizá-la uma única vez, deve-se tirar \(1\) do valor de \(C'_{13}\). Com isso, o valor real de \(C_{13}\) é:


\[\begin{align} C_{13} &= C'_{13}-1 \\ &=75-1 \\ &=74 \,\,\,\,(II) \end{align}\]


Ou seja, há \(74\) senhas diferentes com pelo menos um \(13\).

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1. Cálculo das senhas que Maria pode usar: como Maria não quer o número \(13\) em sua senha de \(4\) dígitos, a quantidade de combinações possíveis que ela pode adotar pode ser encontrada com base nos valores das equações \((I)\) e \((II)\). Com isso, o valor de \(C_{M}\) é:


\[\begin{align} C_{M} &= C+C_{13} \\ &= 625-74 \\ &= 551 \end{align}\]


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Concluindo, Maria pode escolher \(\boxed{551}\) senhas diferentes.