como calcular integral dupla?

Veja se algumas vídeo aulas ajudam você. https://www.youtube.com/watch?v=mFsgx121c_Y&list=PL747B23B2DAF9479B. E tem o que eu prefiro, o canal do Grings. Muito bom! https://www.youtube.com/watch?v=jopUbj3oxvU&list=PL82B9E5FF3F2B3BD3

1) Devemos encontrar o resultado da integral dupla e para isso realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & \int_{{}}^{{}}{\int_{{}}^{{}}{f(x,y)=\int_{1}^{2}{\int_{0}^{1}{2x\left( x{}^\text{2}\text{ }+\text{ }y \right)}}}}dxdy \\ & \int_{1}^{2}{\int_{0}^{1}{2x\left( x{}^\text{2}\text{ }+\text{ }y \right)}}=\int_{1}^{2}{\left( \frac{2{{x}^{4}}}{4}+\frac{2{{x}^{2}}y}{2} \right)}_{0}^{1}dy \\ & \,\int_{1}^{2}{\int_{0}^{1}{2x\left( x{}^\text{2}\text{ }+\text{ }y \right)}}=\int_{1}^{2}{\left( \frac{2}{4}+y \right)}dy \\ & \,\int_{1}^{2}{\int_{0}^{1}{2x\left( x{}^\text{2}\text{ }+\text{ }y \right)}}=\left( \frac{2y}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{2} \right)_{1}^{2}dy \\ & \,\int_{1}^{2}{\int_{0}^{1}{2x\left( x{}^\text{2}\text{ }+\text{ }y \right)}}=\left( \frac{2}{2}+\frac{4}{2} \right)-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \\ & \,\int_{1}^{2}{\int_{0}^{1}{2x\left( x{}^\text{2}\text{ }+\text{ }y \right)}}=\frac{6}{2} \\ & \,\int_{1}^{2}{\int_{0}^{1}{2x\left( x{}^\text{2}\text{ }+\text{ }y \right)}}=3 \\ \end{align} \)

Portanto, a integral dupla da função dada será igual a \(\boxed3\).