No polinômio Q(x)=(x-3).(x²-9)².(x²-4x+3)^m-2 admite raíz 3 tem multiplicidade 8. Determine o valor do número real m ?

d

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Primeiramente, precisamos conferir quantas vezes \(3\) aparece como raiz em cada parte da função.

Em \(x-3\), \(3\) aparece como raiz uma única vez, logo tem multiplicidade \(1\).

Já em \(\big(x^2-9\big)^2\), \(3\) aparece como raiz duas vezes pois \(\big(x^2-9\big)^2=\big((x+3)(x-3)\big)^2\) .

Por fim, em \(\big(x^2-4x+3\big)^{m-2}\), tem multiplicidade \(m-2\), pois \(\big(x^2-4x+3\big)^{m-2}=\big((x-3)(x-1)\big)^{m-2}\).

Assim, podemos reescrever \(Q(x)\) como

\[\begin{aligned} Q(x) &= (x-3) \big(x^2-9\big)^2 \big(x^2-4x+3\big)^{m-2} \\ &= (x-3)(x-3)^2(x+3)^2(x-1)^{m-2}(x-3)^{m-2} \\ &= (x-3)^{1+2+m-2}(x+3)^2(x-1)^{m-2} \\ &= (x-3)^{m+1}(x+3)^2(x-1)^{m-2} \end{aligned}\]

Agora, como queremos que \(3\) tenha multiplicidade oito, basta encontrar \(m\) de modo que \((x-3)^{m+1} = (x-3)^8\):

\[\begin{aligned} m+1 &= 8 \Longleftrightarrow \\ m &= 7 \end{aligned}\]

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Portanto, para que \(3\) tenha multiplicidade oito, precisamos que \(\boxed{m=7}\).