Probabilidade

\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{{b - a}}, \text{se }a \leqslant x \leqslant b} \\ {0, \text{caso contrário}} \end{array}} \right.\]

A média é dada por:

\[E\left( x \right) = \dfrac{{a + b}}{2}\]

E a variância é:

\[Var\left( X \right) = \dfrac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{{12}}\]

Assim, é necessário encontrar os parâmetros \(a\) e \(b\) de \(f(x)\).

Do enunciado, temos:

\[E\left( X \right) = \dfrac{{a + b}}{2} = 1\]

\[Var\left( X \right) = \dfrac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{{12}} = \dfrac{1}{{12}}\]

Assim:

\[a + b = 2\]

\[{\left( {b - a} \right)^2} = 1 \Rightarrow b - a = \pm 1\]

\[{\text{se }}b - a = - 1:\]

\[b = a - 1 \Rightarrow a + \left( {a - 1} \right) = 2 \Rightarrow a = \dfrac{3}{2} \Rightarrow b = \dfrac{1}{2}\]

A solução acima não é válida, pois implica \(a>b\), o que contradiz a definição de \(f(x)\)

\[{\text{se }}b - a = 1:\]

\[b = a + 1 \Rightarrow a + \left( {a + 1} \right) = 2 \Rightarrow a = \dfrac{1}{2} \Rightarrow b = \dfrac{3}{2}\]

Assim, com \(a=\dfrac{1}{2}\) e \(b=\dfrac{3}{2}\), temos:

\[P\left( {X < \dfrac{3}{4}} \right) = \int\limits_{ - \infty }^{3/4} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{1/2}^{3/4} {\dfrac{1}{{\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}}}dx = \int\limits_{1/2}^{3/4} {1 dx = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}} }\]

Portanto, a probabilidade de que a variável assuma valores menores que \(\dfrac{3}{4}\) é de \(\dfrac{1}{4}\).