AJUDA COM FATORIAL! Resolva as seguintes equações: a) (n+2)!=6•n!\nb) (n+2)!-(n+1)!\/n(n-1)!=25\nc) (n-5)!=1

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Passo de Contextualização

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Para resolvermos estas equações, devemos usar os conceitos de fatoriais e equações de primeiro e segundo grau.

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Passo 1

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a) \(\left( {n + 1} \right)! = 6*n!\)

Dividimos ambos os lados da equação por n!:

\[\dfrac{{(n + 2)(n + 1)n!}}{{n!}} = \dfrac{{6n!}}{{n!}} \to \left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right) = 6\]

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Passo 2

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Fazemos a distributiva e igualamos a equação a 0:

\[{n^2} + 3n + 2 = 6 \to {n^2} + 3n - 4 = 0\]

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Passo 3

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Utilizamos a soma e produto para achar as raízes da equação:

S=-b/a e P=c/a

\[\eqalign{ & S = \dfrac{{ - 3}}{1} = - 3 \cr & P = \dfrac{{ - 4}}{1} = - 4 }\]

Temos que, os números que somados dão -3 e multiplicados -4, são respectivamente 1 e -4,

para o cálculo com fatoriais o -4 é descartável, então temos que a solução é n=1

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Passo 4

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Substituímos n por 1 na equação para verificar:

\[\left( {1 + 2} \right)! = 6*1! \to 3! = 6*1! \to 6 = 6\]

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Finalmente temos que para esta equação a solução é \(\boxed{n = 1}\)

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b)\(\dfrac{{\left( {n + 2} \right)! - \left( {n + 1} \right)!}}{{n\left( {n - 1} \right)!}} = 25\)

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Passo 1

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Evidenciamos o denominador “n(n-1)!” na parte de cima da fração:

\[\dfrac{{\left( {n + 2} \right)(n + 1)n(n - 1)! - (n + 1)n(n - 1) = 25}}{{n\left( {n - 1} \right)}}\]

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Passo 2

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Colocamos em evidência o termo “n(n-1)” e cancelamos com o denominador:

\[\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left[ {\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {n + 1)} \right)} \right]}}{{n\left( {n - 1)} \right)}} = 25 \to \left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {n + 1} \right) = 25\]

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Passo 3

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Colocamos o termo “n+1” em evidência:

\[\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2 - 1} \right) = 25\]

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Passo 4

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Aplicamos a distributiva na equação e igualamos a 0:

\[\left( {n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) = 25 \to {n^2} + 2n + 1 = 25 \to {n^2} + 2n - 24 = 0\]

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Passo 5

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Utilizamos a soma e produto para encontrar as raízes das equações:

\[\eqalign{ & S = \dfrac{{ - 2}}{1} = - 2 \cr & P = \dfrac{{ - 24}}{1} = - 24 }\]

Os números que somados dão -2 e multiplicados dão -24, são -6 e 4, para fatoriais o -6 é descartável, então temos que n = 4.

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Passo 6

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Substituímos n por 4 para verificar:

\[\dfrac{{\left( {4 + 2} \right)! - \left( {4 + 1} \right)! = 25}}{{4\left( {4 - 1} \right)!}} \to \dfrac{{6! - 5!}}{{4*3!}} = 25 \to \dfrac{{600}}{{24}} = 25 \to 25 = 25\]

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Finalmente, temos que a solução para esta equação é: \(\boxed{n = 4}\)

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c)\(\left( {n - 5} \right)! = 1\)

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Passo 1

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Consideremos 1=1! e por convenção 0!=1

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Passo 2

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Substituímos estes valores na equação:

\[\eqalign{ & \left( {n - 5} \right)! = 1! \to n - 5 = 1 \cr & \left( {n - 5} \right)! = 0! \to n - 5 = 0 }\]

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Passo 3

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Resolvemos as equações para estes valores:

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\[\eqalign{ & \left( {n - 5} \right)! = 1! \to n - 5 = 1 \to n = 1 + 5 \to n = 6 \cr & \left( {n - 5} \right)! = 0! \to n - 5 = 0 \to n = 0 + 5 \to n = 5 }\]

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Finalmente, temos que existem 2 soluções para esta equação: \(\boxed{S = \left\{ {5,6} \right\}}\)