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MatemáticaColegio Nota Dez

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Há mais de um mês

Se ao aumentarmos o lado do quadrado de \(2\ cm\) sua área aumenta de \(28\ cm^2\), temos, matematicamente:


\[(x+2)^2-x^2=28\]

Mas podemos fatorar usando diferença de quadrados:


\[(x+2-x)(x+2+x)=28\]


\[2(2x+2)=28\]


\[2(x+1)=14\]


\[x+1=7\]


\[x=6\ cm\]

Em um tetraedro regular, o pé da altura se localiza no baricentro da base, de forma que, por Teorema de Pitágoras, temos:


\[h^2+\left(\dfrac23h_{base}\right)^2=x^2\]

Mas a base é um triângulo equilátero, de forma que a altura da base é:


\[h_{base}=\dfrac{x\sqrt3}2\]

Substituindo na nossa expressão, temos:


\[h^2+\left(\dfrac{x\sqrt3}3\right)^2=x^2\]


\[h^2+\dfrac{x^2}3=x^2\]


\[h^2=\dfrac{2x^2}3\]


\[h=x\sqrt{\dfrac23}\]

Já descobrimos que \(x=6\ cm\):


\[h=6\sqrt{\dfrac23}\]

Multiplicando por \(\sqrt3\) o numerador e o denominador, temos:


\[h=\dfrac{6\sqrt6}{3}\]


\[\boxed{h=2\sqrt6\ cm}\]

Logo a alternativa A é a correta.

Se ao aumentarmos o lado do quadrado de \(2\ cm\) sua área aumenta de \(28\ cm^2\), temos, matematicamente:


\[(x+2)^2-x^2=28\]

Mas podemos fatorar usando diferença de quadrados:


\[(x+2-x)(x+2+x)=28\]


\[2(2x+2)=28\]


\[2(x+1)=14\]


\[x+1=7\]


\[x=6\ cm\]

Em um tetraedro regular, o pé da altura se localiza no baricentro da base, de forma que, por Teorema de Pitágoras, temos:


\[h^2+\left(\dfrac23h_{base}\right)^2=x^2\]

Mas a base é um triângulo equilátero, de forma que a altura da base é:


\[h_{base}=\dfrac{x\sqrt3}2\]

Substituindo na nossa expressão, temos:


\[h^2+\left(\dfrac{x\sqrt3}3\right)^2=x^2\]


\[h^2+\dfrac{x^2}3=x^2\]


\[h^2=\dfrac{2x^2}3\]


\[h=x\sqrt{\dfrac23}\]

Já descobrimos que \(x=6\ cm\):


\[h=6\sqrt{\dfrac23}\]

Multiplicando por \(\sqrt3\) o numerador e o denominador, temos:


\[h=\dfrac{6\sqrt6}{3}\]


\[\boxed{h=2\sqrt6\ cm}\]

Logo a alternativa A é a correta.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas