Resolva os sistemas:{x2+y2=169{x+y=17

\[\left\{ \begin{matrix} x^2+y^2=169 &(I) \\ x+y=17 &(II) \end{matrix} \right.\]

Reescrevendo a equação \((II)\), tem-se o seguinte:

\[y=17-x \,\,\,\,(III)\]

Substituindo a equação \((III)\) na equação \((I)\), a equação resultante é:

\[\begin{align} x^2+y^2 &= 169 \\x^2+(17-x)^2 &= 169 \\ x^2+(17^2-2\cdot 17x+x^2) &= 169 \\ x^2+289-34x+x^2 &= 169 \\ 2x^2-34x+289-169 &= 0 \\ 2x^2-34x+120 &= 0 \\ x^2-17x+60 &= 0 \\ \end{align}\]

A equação anterior está no formato \(ax^2+bx+c=0\). Portanto, tem-se \(a=1\), \(b=-17\) e \(c=60\). Pelo método de Bhaskara, os valores de \(x\) são:

\[\begin{align} x&={-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \\ &={-(-17)\pm \sqrt{(-17)^2-4\cdot 1\cdot 60} \over 2\cdot 1} \\ &={17\pm \sqrt{289-240} \over 2} \\ &={17\pm \sqrt{49} \over 2} \\ &={17\pm 7 \over 2} \to \left\{ \begin{matrix} x_1=12 \\ x_2=5 \end{matrix} \right. \end{align}\]

Portanto, pela equação \((III)\), os valores de \(y\) são:

\[\left\{ \begin{matrix} y_1=17-x_1=17-12 \\ y_2=17-x_2=17-5 \end{matrix} \right.\]

\[\left\{ \begin{matrix} y_1=5 \\ y_2=12 \end{matrix} \right.\]

Concluindo, uma possível solução do sistema de equações é:

\[\boxed{\left\{ \begin{matrix} x=12 \\ y=5 \end{matrix} \right.}\]