Sabendo que PA e PB são tangentes à circuferência de centro O e raio 6cm, calcule o perímetro do quadrilátero OAPB cuja diagonal OP mede 10cm.

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Pela figura, tem-se o seguinte:

• Como as retas \(\overline{PA}\) e \(\overline{PB}\) são tangentes à circunferência, cada uma forma um ângulo de \(90^{\circ}\) com o raio da circunferência.
• O triângulo retângulo \(PBO\) é idêntico a \(PAO\). Portanto, a reta \(\overline{PA}\) possui comprimento igual à reta \(\overline{PB}\).

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo \(PBO\), o valor de \(\overline{PB}\) é:

\[\begin{align} \overline{BO}^2+\overline{PB}^2 &=\overline{PO}^2 \\ \overline{PB}^2 &=\overline{PO}^2-\overline{BO}^2 \\ \overline{PB} &=\sqrt{\overline{PO}^2-\overline{BO}^2} \\ &=\sqrt{10^2-6^2} \\ &=\sqrt{100-36} \\ &=\sqrt{64} \\ &=8\text{ cm} \end{align}\]

Analogamente, o valor de \(\overline{PA}\) é:

\[\begin{align} \overline{PA} &=\overline{PB} \\ &=8\text{ cm} \end{align}\]

Sendo \(p\) o perímetro do quadrilátero \(OAPB\), seu valor é:

\[\begin{align}p&=\overline{PA}+\overline{AO}+\overline{BO}+\overline{PB} \\ &=8+6+6+8 \\ &=28 \text{ cm} \end{align}\]

Concluindo, o perímetro do quadrilátero \(OAPB\) é igual a \(\boxed{28\text{ cm}}\).