Um modo de cifrar uma mensagem é associar um inteiro positivo a cada letra do alfabeto (A = 1, B = 2, ..., W = 23, X = 24, Y = 25, Z = 26)e usar uma

Um modo de cifrar uma mensagem é associar um inteiro positivo a cada letra do alfabeto (A = 1, B = 2, ..., W = 23, X = 24, Y = 25, Z = 26) e usar uma chave f, de conhecimento apenas do emissor e do receptor. Assim, em vez de transmitir a letra associada ao número p, transmitese aquela associada a f(p). O receptor, recebendo q = f(p), decifra a letra determinando p = f^– 1 (q). O imperador romano Júlio César, por exemplo, usava como chave f(p) = p + 3 (na aritmética dos inteiros módulo 26). Assim, a mensagem ZERO seria transmitida CHUR e a mensagem recebida PAZ seria decifrada como MXW. a) Mostre que a chave f(p) = 2p + 1 (na aritmética dos inteiros módulo 26) não é invertível. b) Determine f^–1(q) para a chave f(p) = 3p + 1 (na aritmética dos inteiros módulo 26).

Matemática

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Colegio Fazer Crescer

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João Pedro

29/08/2019

💡 3 Respostas

Andre Smaira

02.10.2019

a) Escrevendo de forma matemática, vamos provar que no conjunto

\mathbb Z_{26}

não existe

f^{-1}(q)

tal que

\(f(p)=2p+1\)

. Vamos assumir por absurdo que a inversa exista e calculá-la:

$f^{-1}(q)=2^{-1}(q-1)$

Temos que determinar agora o inverso de $$2$$ , isto é:

$2^{-1}\cdot2\equiv1$

Ou, escrevendo em $\mathbb Z$ :

$2^{-1}\cdot2=26k+1,\ k\in\mathbb Z$

Mas tomando $$m=13k$$ , temos:

$2^{-1}\cdot2=2m+1,\ m\in\mathbb Z$

Mas o produto de qualquer número por $$2$$ ( $2^{-1}\cdot2$ ) não pode ser um número ímpar ( $$2m+1$$ ). Chegamos, então, a um absurdo. Logo a hipótese inicial está errada, isto é:

$\boxed{\nexists f^{-1}(q)|f(p)=2p+1,\ p\in\mathbb Z_{26}}$

b) Para o caso em que $$f(p)=3p+1$$ , vamos calcular a inversa:

$f(p)=3p+1\Rightarrow f^{-1}(q)=3^{-1}(q-1)$

Vamos agora determinar $3^{-1}$ :

$3^{-1}\cdot3=26k+1$

Para