Paulo é um fabricante de brinquedos que produz um determinado tipo de carrinho. A figura a seguir mostra os gráficos das funções custo total e receit

Sendo \(R\left( x \right)\)e \(C\left( x \right)\)as funções receita e custo, respectivamente, temos que a função lucro é dada por \(L\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\) onde \(x\)é o número de carrinhos vendidos.

Do gráfico, temos que \(R\left( {400} \right) = 4.000\)e \(C\left( {400} \right) = 4.000\) Assim, o lucro será nulo. Como a empresa terá lucro se \(L\left( x \right) > 0\) e prejuízo se \(L\left( x \right) < 0\) temos que o intervalo de lucro é o que apresenta \(R\left( x \right) > C\left( x \right)\)e o intervalo de prejuízo é o que apresenta \(R\left( x \right) < C\left( x \right)\) Visualizando o gráfico, temos que a empresa terá lucro para \(x > 400\)e prejuízo para \(x < 400\)

Portanto, a empresa terá lucro e prejuízo para \(\boxed{x > 400}\)e \(\boxed{x < 400}\) respectivamente.

b)

O custo fixo (\({C_f}\)) é definido como sendo o quanto a empresa precisa gastar para produzir nenhum produto. Ou seja, é um custo que não depende da quantidade de produtos fabricados.

Do gráfico, temos que para \(x=0\) obtemos \(C\left( 0 \right) = 2.400\) Assim, podemos afirmar que o custo fixo de produção da empresa do Paulo é \({C_f} = 2.400\)

Portanto, temos que \(\boxed{{C_f} = 2.400}\)

c)

Para determinarmos as funções \(R\left( x \right)\)e \(C\left( x \right)\) precisamos de dois pontos de seus gráficos, uma vez que são retas.

Para a função receita, temos os pontos \(\left( {0,0} \right)\)e \(\left( {400,4.000} \right)\) Tratando-se de uma reta, a sua representação matemática pode ser dada por \(R\left( x \right) = ax + b\) Substituindo o primeiro ponto, temos:

\[\eqalign{ 0 &= a \cdot 0 + b\cr b &= 0 }\]

Assim, temos que \(R\left( x \right) = ax\) Substituindo o segundo ponto, temos:

\[\eqalign{ 4.000 &= a \cdot 400\cr a &= 10 }\]

Logo, a função receita é \(R\left( x \right) = 10x\) Para a função lucro, temos a forma \(C\left( x \right) = cx + d\)e os pontos \(\left( {0,2.400} \right)\)e \(\left( {400,4.000} \right)\) Substituindo o primeiro ponto, encontramos:

\[\eqalign{ 2.400 &= c \cdot 0 + d\cr d &= 2.400 }\]

Assim, temos que \(C\left( x \right) = cx + 2.400\) E, substituindo o segundo ponto, encontramos:

\[\eqalign{ 4.000 &= c \cdot 400 + 2.400\cr 1.600 &= c \cdot 400\cr c &= 4 }\]

Ou seja, a função custo é dada por \(C\left( x \right) = 4x + 2.400\)

Portanto, as funções receita e custo são \(\boxed{R\left( x \right) = 10x}\)e \(\boxed{C\left( x \right) = 4x + 2.400}\) respectivamente.