Determine a Transformada de Laplace de df(t)²/dt², sabendo que os valores iniciais são diferentes de zero

Question

Determine a Transformada de Laplace de df(t)²/dt², sabendo que os valores iniciais são diferentes de zero.

F(s).s²-F(0).s-dF(0)/dt, t>=0;

F(s).s²+F(0).s+dF(0)²/dt², t>=0;

F(s).s²-dF(0)/dt.s-dF(0)/dt, t>=0;

F(s).s²-F(0).s-dF(0)²/dt², t>=0;

F(s).s²+F(0).s+dF(0)/dt, t>=0;

Renan Fernandes · Answer

F(s).s²-F(0).s-dF(0)/dt, t>=0

Andre Smaira · Answer

Queremos encontrar a transformada de Laplace de

\dfrac{d^2f(t)}{dt^2}

.

A transformada de Laplace de uma derivada segue a propriedade da transformada da derivada, dado por:

$\mathcal{L}\{f'(t)\}=s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0)$

Aplicando a essa regra à segunda derivada, temos:

$\mathcal{L}\{f''(t)\}=s\mathcal{L}\{f'(t)\}-f'(0)=s(s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0))-f'(0)=s^2\mathcal{L}\{f(t)\}-sf(0)-f'(0)$

Chamando
$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$
e sabendo que
$f(0)\neq0$
e
$f'(0)\neq0$
, temos:

$\mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2F(s)-sF(s)-\dfrac{dF(0)}{dt}$

Portanto, a alternativa correta é a letra (c).

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