Quantas são as soluções não negativas para x+y+z=7? Dessas quantas são inteiras positivas? Obrigada

Resposta: 36 soluções (trinta e seis soluções possíveis)

Explicação passo-a-passo:

A quantidade de soluções inteiras e não negativas da equação (formato genérico) x(1) + x(2) + x(3) + ... + x(n) = r (onde x(1), ..., x(n) são números naturais e r é também natural) é dada por Q = (n + r - 1)!/r!(n - 1)!. Com isso a quantidade de soluções inteiras não negativas da equação proposta é dada por:

Q = (3 + 7 - 1)!/7!(3 - 1)! <=>

Q = (10 - 1)!/7!(3 - 1)! <=>

Q = 9!/7!2! <=>

Q = 9.8.7!/7!2! <=>

Q = 72/2! <=>

Q = 72/2 <=>

Q = 36 soluções

Perceba que realmente são 36 soluções, pois:

3 + 4 + 0 = 7 —> 3! soluções*

* Note que “x”, “y” ou “z” podem assumir quaisquer valores dentre as parcelas, com isso fazendo x = 3, y = 4 e z = 0 temos uma solução; fazendo x = 0, y = 4 e z = 3 temos outra solução (distinta da primeira), e assim sucessivamente (até que se esgotem as possibilidades, que por sua vez é um total de 3! = 6).

2 + 5 + 0 = 7 —> 3! soluções

1 + 6 + 0 = 7 —> 3! soluções

7 + 0 + 0 = 7 —> 3 soluções

5 + 1 + 1 = 7 —> 3 soluções

4 + 2 + 1 = 7 —> 3! soluções

3 + 3 + 1 = 7 —> 3 soluções

2 + 3 + 2 = 7 —> 3 soluções

Adicionando tudo, obteremos:

3! + 3! + 3! + 3 + 3 + 3! + 3 + 3 =

4.3! + 4.3 =

4.(3! + 3) =

4.(6 + 3) =

4.9 =

36

9!/2! = (9*8)/2 = 36.

É uma permutação com repetição. Basta somar o resultado (7) com a quantidade de sinais (2).