Quantas soluções inteiras e não-negativas possui a equação x + y + z + w = 11? Dessas, quantas são inteiras e positivas?

Para resolver essa questão, podemos utilizar o conceito de combinação com repetição. Para encontrar o número de soluções inteiras e não-negativas da equação x + y + z + w = 11, podemos utilizar a fórmula (n + k - 1)C(k - 1), onde n é o número de elementos a serem distribuídos (11) e k é o número de recipientes (4). Assim, temos: (11 + 4 - 1)C(4 - 1) = 14C3 = 364 Portanto, a equação x + y + z + w = 11 possui 364 soluções inteiras e não-negativas. Para encontrar o número de soluções inteiras e positivas, podemos utilizar a técnica de mudança de variáveis, fazendo x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1 e w' = w - 1. Dessa forma, a equação se torna x' + y' + z' + w' = 7, e podemos aplicar a fórmula novamente: (7 + 4 - 1)C(4 - 1) = 10C3 = 120 Portanto, a equação x + y + z + w = 11 possui 120 soluções inteiras e positivas.