Resultado do produto vetorial entre u = (1,-2,3) e v = (0,2,1).

u x v = (-8,-1,2)

sendo assim vamos calcular

| i.. j.. k |

| 1 2 3 |

| 2 -1 0 |

resolvendo teremos

(0i -k + 6j)-(4k-3i+0j)

-k + 6j -4k + 3i

arrumando

u.v = ( 3i, 6j, -5k)

logo chamaremos de vetor "a" para facilitar os calculos posteriores.

a = (3, 6, -5)

agora vamos mostrar que esse vetor encontrado "a" é ortogonal ao vetor "u" e "v" dado, para isso vamos lembrar que um vetor só será ortogonal a outro se o produto escalar entre eles resultar em zero!!!

sendo assim:

a.u= (3, 6, -5).(1, 2, 3)

a.u= 3 + 12 -15

a.u= 0

agora faremos a.v:

a.v= (3, 6, -5).(2, -1, 0)

a.v= 6 -6 + 0

a.v= 0

mostrando que o vetor 'a' é ortogonal aos vetores "u" e "v"!

$\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}0& 2& 1\end{array}\right)$

$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}:\left(u_1,u_2,u_3\right)\times \left(v_1,v_2,v_3\right)=\left(u_2{v}_3-u_3{v}_2,u_3{v}_1-u_1{v}_3,u_1{v}_2-u_2{v}_1\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}-2\cdot 1-3\cdot 2& 3\cdot 0-1\cdot 1& 1\cdot 2-\left(-2\cdot 0\right)\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}-8& -1& 2\end{array}\right)$