para quais valores reais de k a função f(x) = -2x^ + x + k - 3 é negativa para qualquer x real?

A função  f(x) = - 2x² + x + k - 3 está no formato f(x) = ax² + bx + c, conforme a equação de Bhaskara.

Com a = -2, b = 1 e c = k - 3, a equação do discriminante é:

-> Δ = b² - 4ac

-> Δ = 1² - 4(-2)(k - 3)

-> Δ = 1 + 8(k - 3)

-> Δ = 1 + 8k - 24

-> Δ = 8k - 23

Como a = -2 é menor do que zero, a concavidade da parábola f(x) é voltada para baixo. Se f(x) não cruzar o eixo x, a função será sempre negativa. Para isso, deve-se ter Δ < 0. Para isso, os valores de k devem ser:

-> Δ < 0

-> 8k - 23 < 0

-> 8k < 23

-> k < 23/8

-> k < 2,875

Solução: k < 2,875

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