Os pontos críticos de f(x, y) são aqueles que atendem às seguintes equações:

{ fx = 0 -> { df/dx = 0

{ fy = 0 -> { df/dy = 0

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Com f(x, y) = x³ + y³ - 3xy:

{ d(x³ + y³ - 3xy)/dx = 0 -> { 3x² - 3y = 0 -> { x² = y (I)

{ d(x³ + y³ - 3xy)/dy = 0 -> { 3y² - 3x = 0 -> { y² = x (II)

Substituindo (I) em (II), as abscissas dos pontos críticos são:

-> y² = x

-> (x²)² = x

-> x⁴ - x = 0

-> x(x³ - 1) = 0

-> x₀ = 0 ; x₁ = 1

E as ordenadas dos pontos críticos são:

-> y₀ = 0 ; y₁ = 1

Portanto, os pontos críticos de f(x, y) são:

{ (x₀, y₀) = (0, 0)

{ (x₁, y₁) = (1, 1)

Agora, deve-se classificar os pontos críticos.

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Conhecendo as derivadas fx = 3x² - 3y e fy = 3y² - 3x, a matriz Hessiana é:

-> H(x, y) = [ fxx fxy ]

[ fyx fyy ]

-> H(x, y) = [ d(fx)/dx d(fx)/dy ]

[ d(fy)/dx d(fy)/dy ]

-> H(x, y) = [ d(3x² - 3y)/dx d(3x² - 3y)/dy ]

[ d(3y² - 3x)/dx d(3y² - 3x)/dy ]

-> H(x, y) = [ 6x -3 ]

[ -3 6y ]

Portanto, o determinante de H(x, y) é:

-> | H(x, y) | = 36xy - 9

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Classificação de um ponto crítico:

. | H(x, y) | > 0 e fxx(x, y) > 0: ponto de mínimo local.

. | H(x, y) | > 0 e fxx(x, y) < 0: ponto de máximo local.

. | H(x, y) | < 0: ponto de sela.

. | H(x, y) | = 0: não se pode concluir nada.

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1) Ponto crítico (x₀, y₀) = (0, 0):

-> | H(x₀, y₀) | = 36x₀y₀ - 9

-> | H(0, 0) | = 36⋅0⋅0 - 9

-> | H(0, 0) | = - 9 < 0

Com | H(0, 0) | < 0, tem-se que (x₀, y₀) = (0, 0) é um ponto de sela.

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2) Ponto crítico (x₁, y₁) = (1, 1):

-> | H(x₁, y₁) | = 36x₁y₁ - 9

-> | H(1, 1) | = 36⋅1⋅1 - 9

-> | H(1, 1) | = 27 > 0

Com | H(1, 1) | > 0, tem-se que (x₁, y₁) = (1, 1) ou é um ponto de máximo local ou de mínimo local. Com fxx = 6x, o valor de fxx(x₁, y₁) é:

-> fxx(x₁, y₁) = 6x₁

-> fxx(1, 1) = 6⋅1

-> fxx(1, 1) = 6 > 0

Com | H(1, 1) | > 0 e fxx(1, 1) > 0, tem-se que (x₁, y₁) = (1, 1) é um ponto de mínimo local.

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