Pontos críticos
Os pontos críticos de f(x, y) são aqueles que atendem às seguintes equações:
{ fx = 0 -> { df/dx = 0
{ fy = 0 -> { df/dy = 0
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Com f(x, y) = x³ + y³ - 3xy:
{ d(x³ + y³ - 3xy)/dx = 0 -> { 3x² - 3y = 0 -> { x² = y (I)
{ d(x³ + y³ - 3xy)/dy = 0 -> { 3y² - 3x = 0 -> { y² = x (II)
Substituindo (I) em (II), as abscissas dos pontos críticos são:
-> y² = x
-> (x²)² = x
-> x⁴ - x = 0
-> x(x³ - 1) = 0
-> x₀ = 0 ; x₁ = 1
E as ordenadas dos pontos críticos são:
-> y₀ = 0 ; y₁ = 1
Portanto, os pontos críticos de f(x, y) são:
{ (x₀, y₀) = (0, 0)
{ (x₁, y₁) = (1, 1)
Agora, deve-se classificar os pontos críticos.
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Conhecendo as derivadas fx = 3x² - 3y e fy = 3y² - 3x, a matriz Hessiana é:
-> H(x, y) = [ fxx fxy ]
[ fyx fyy ]
-> H(x, y) = [ d(fx)/dx d(fx)/dy ]
[ d(fy)/dx d(fy)/dy ]
-> H(x, y) = [ d(3x² - 3y)/dx d(3x² - 3y)/dy ]
[ d(3y² - 3x)/dx d(3y² - 3x)/dy ]
-> H(x, y) = [ 6x -3 ]
[ -3 6y ]
Portanto, o determinante de H(x, y) é:
-> | H(x, y) | = 36xy - 9
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Classificação de um ponto crítico:
. | H(x, y) | > 0 e fxx(x, y) > 0: ponto de mínimo local.
. | H(x, y) | > 0 e fxx(x, y) < 0: ponto de máximo local.
. | H(x, y) | < 0: ponto de sela.
. | H(x, y) | = 0: não se pode concluir nada.
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1) Ponto crítico (x₀, y₀) = (0, 0):
-> | H(x₀, y₀) | = 36x₀y₀ - 9
-> | H(0, 0) | = 36⋅0⋅0 - 9
-> | H(0, 0) | = - 9 < 0
Com | H(0, 0) | < 0, tem-se que (x₀, y₀) = (0, 0) é um ponto de sela.
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2) Ponto crítico (x₁, y₁) = (1, 1):
-> | H(x₁, y₁) | = 36x₁y₁ - 9
-> | H(1, 1) | = 36⋅1⋅1 - 9
-> | H(1, 1) | = 27 > 0
Com | H(1, 1) | > 0, tem-se que (x₁, y₁) = (1, 1) ou é um ponto de máximo local ou de mínimo local. Com fxx = 6x, o valor de fxx(x₁, y₁) é:
-> fxx(x₁, y₁) = 6x₁
-> fxx(1, 1) = 6⋅1
-> fxx(1, 1) = 6 > 0
Com | H(1, 1) | > 0 e fxx(1, 1) > 0, tem-se que (x₁, y₁) = (1, 1) é um ponto de mínimo local.
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