Para encontrar os pontos críticos da função \( f(x,y) = x^3y + 12x^2 - 8y \), precisamos calcular as derivadas parciais em relação a \( x \) e \( y \) e igualá-las a zero. 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y + 24x \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x^3 - 8 \] Agora, igualamos as derivadas a zero: - Para \( f_x = 0 \): \[ 3x^2y + 24x = 0 \implies 3x(8 + x y) = 0 \] Isso nos dá duas possibilidades: \( x = 0 \) ou \( 8 + xy = 0 \). - Para \( f_y = 0 \): \[ x^3 - 8 = 0 \implies x^3 = 8 \implies x = 2 \] Agora, vamos analisar as possibilidades: 1. Se \( x = 0 \): Substituindo na equação \( 8 + xy = 0 \): \[ 8 + 0 \cdot y = 0 \implies 8 \neq 0 \quad \text{(não fornece solução)} \] 2. Se \( x = 2 \): Substituindo \( x = 2 \) na equação \( 8 + xy = 0 \): \[ 8 + 2y = 0 \implies 2y = -8 \implies y = -4 \] Portanto, temos um ponto crítico: \( (2, -4) \). Agora, precisamos verificar se existem mais soluções a partir da equação \( 8 + xy = 0 \): \[ y = -\frac{8}{x} \] Substituindo na equação \( f_y = 0 \): \[ x^3 - 8 = 0 \implies x = 2 \quad \text{(já encontrado)} \] Assim, não encontramos mais pontos críticos além de \( (2, -4) \). Portanto, a quantidade de pontos críticos que a função possui é 1 ponto crítico. A alternativa correta é: E 1 ponto crítico.