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Sabendo que o plano π passa pelo ponto B(3, 1, 5) e contém a reta r1, estabeleça a equação do plano π e assinale a...

Sabendo que o plano π passa pelo ponto B(3, 1, 5) e contém a reta r1, estabeleça a equação do plano π e assinale a alternativa correta:

r1 =⎧ x=2+t

⎨y=−3−2t

⎩z=t


a. N.D.A.

b. π: 7x + y – 5z - 3 = 0

c. π: 5x + 14y + 4z + 22 = 0

d. π: -13x – 3y – 5z - 40 = 0

e. π: -14x - 4y + 6z + 16 = 0


x=2+t

y=−3−2t

z=t


💡 2 Respostas

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Ricardo Proba

Reta r₁:

{ x = 2 + t

{ y = - 3 - 2t

{ z = 0 + t

A reta r₁, que possui vetor diretor u = (1, -2, 1) e passa pelo ponto A(2, -3, 0), precisa estar contida no plano π.

---------------------------------------------------------------

O vetor que liga os pontos A(2, -3, 0) e B(3, 1, 5) é:

-> v = B - A

-> v = (3, 1, 5) - (2, -3, 0)

-> v = (3 - 2, 1 + 3, 5 - 0)

-> v = (1, 4, 5)

---------------------------------------------------------------

Os vetores u = (1, -2, 1) e v = (1, 4, 5) precisam pertencer ao plano π. Portanto, eles são paralelos ao plano. Portanto, o vetor normal (n) ao plano é:

-> n = u × v

-> n = (1, -2, 1) × (1, 4, 5)

| i j k |

-> n = | 1 -2 1 |

| 1 4 5 |

-> n = ( -2⋅5 - 1⋅4 )i + ( 1⋅1 - 1⋅5 )j + ( 1⋅4 - (-2)⋅1 )k

-> n = ( -10 - 4 )i + ( 1 - 5 )j + ( 4 + 2 )k

-> n = ( -14)i + (- 4)j + (6)k

-> n = (-14, -4, 6)

Portanto, a equação do plano π fica da seguinte forma:

-> -14(x - x₀) - 4(y - y₀) + 6(z - z₀) = 0

Agora, deve-se substituir um ponto pertencente ao plano. Substituindo o ponto (x₀, y₀, z₀) = B(3, 1, 5), por exemplo, a equação do plano π é:

-> -14(x - 3) - 4(y - 1) + 6(z - 5) = 0

-> -14x + 42 - 4y + 4 + 6z - 30 = 0

-> -14x - 4y + 6z + 16 = 0

---------------------------------------------------------------

Solução: letra e. π: -14x - 4y + 6z + 16 = 0.

Se gostou, dá um joinha!

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Luiz Fernando Botton

π: -14x - 4y + 6z + 16 = 0

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