Sabendo que o plano π passa pelo ponto B(3, 1, 5) e contém a reta r1, estabeleça a equação do plano π e assinale a alternativa correta:
r1 =⎧ x=2+t
⎨y=−3−2t
⎩z=t
a. N.D.A.
b. π: 7x + y – 5z - 3 = 0
c. π: 5x + 14y + 4z + 22 = 0
d. π: -13x – 3y – 5z - 40 = 0
e. π: -14x - 4y + 6z + 16 = 0
x=2+t
y=−3−2t
z=t
Reta r₁:
{ x = 2 + t
{ y = - 3 - 2t
{ z = 0 + t
A reta r₁, que possui vetor diretor u = (1, -2, 1) e passa pelo ponto A(2, -3, 0), precisa estar contida no plano π.
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O vetor que liga os pontos A(2, -3, 0) e B(3, 1, 5) é:
-> v = B - A
-> v = (3, 1, 5) - (2, -3, 0)
-> v = (3 - 2, 1 + 3, 5 - 0)
-> v = (1, 4, 5)
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Os vetores u = (1, -2, 1) e v = (1, 4, 5) precisam pertencer ao plano π. Portanto, eles são paralelos ao plano. Portanto, o vetor normal (n) ao plano é:
-> n = u × v
-> n = (1, -2, 1) × (1, 4, 5)
| i j k |
-> n = | 1 -2 1 |
| 1 4 5 |
-> n = ( -2⋅5 - 1⋅4 )i + ( 1⋅1 - 1⋅5 )j + ( 1⋅4 - (-2)⋅1 )k
-> n = ( -10 - 4 )i + ( 1 - 5 )j + ( 4 + 2 )k
-> n = ( -14)i + (- 4)j + (6)k
-> n = (-14, -4, 6)
Portanto, a equação do plano π fica da seguinte forma:
-> -14(x - x₀) - 4(y - y₀) + 6(z - z₀) = 0
Agora, deve-se substituir um ponto pertencente ao plano. Substituindo o ponto (x₀, y₀, z₀) = B(3, 1, 5), por exemplo, a equação do plano π é:
-> -14(x - 3) - 4(y - 1) + 6(z - 5) = 0
-> -14x + 42 - 4y + 4 + 6z - 30 = 0
-> -14x - 4y + 6z + 16 = 0
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Solução: letra e. π: -14x - 4y + 6z + 16 = 0.
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